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复合材料力学讲义第一部分 简单层板宏观力学性能1.1 各向异性材料的应力—应变关系应力-应变的广义虎克定律可以用简写符号写成为： （1-1）其中σi为应力分量，Cij为刚度矩阵εj为应变分量．对于应力和应变张量对称的情形(即不存在体积力的情况），上述简写符号和常用的三维应力-应变张量符号的对照列于表1—1按表1-l，用简写符号表示的应变定义为:表1—1 应力--应变的张量符号与简写符号的对照注：γij（i≠j）代表工程剪应变,而εij（i≠j)代表张量剪应变（1—2）其中u，v，w是在x，y，z方向的位移.在方程（1—2）中,刚度矩阵Cij有30个常数．但是当考虑应变能时可以证明弹性材料的实际独立常数是少于36个的．存在有弹性位能或应变能密度函数的弹性材料当应力σi作用于应变dεj时，单位体积的功的增量为： (1—3）由应力-应变关系式（1—1），功的增量为： (1-4）沿整个应变积分,单位体积的功为： (1—5)虎克定律关系式（1—1）可由方程(1-5）导出： (1-6）于是 （1—7）同样 （1-8)因W的微分与次序无，所以: (1—9）这样刚度矩阵是对称的且只有21个常数是独立的。

用同样的方法我们可以证明： (1—10）其中Sij是柔度矩阵，可由反演应力-变关系式来确定应变应力关系式为 （1—11）同理 （1-12）即柔度矩阵是对称的，也只有21个独立常数．刚度和柔度分量可认为是弹性常数.性弹性范围内,应力—应变关系的一般表达式为：(1—13）实际上,关系式(1-13）是表征各向异性材料的，因为材料性能没有对称平面．这种各向异性材料的别名是全不对称材料．比各向异性材料有更多的性能对称性的材料将在下面几段中叙述．各种材料性能对称的应力-应变关系式的证明由蔡(Tais)等给出.如果材料有一个性能对称平面应力—应变关系式可简化为（1—14）对称平是z＝0．这种材料称为单对称材料．单对称材料有13个独立的弹性常数如果材料有两个正交的材料性能对称平面则对于和这两个平面相垂直的第三个平面亦具有对称性.在沿材料主方向的坐标系中的应力—应变关系式是：（1-15）该材料称为正交各向异性材料。

注意到正应力σ1 σ2 σ3和剪应变ε23 ε31 ε13之间没有像各向异性材料中存在的（例如由C14的存在)相互作用.同样，剪应力和正应变之间没有相互作用，不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用还注意到在刚度矩阵中现在只剩下9个独立常数如果材料的每一点有一个各个方向的力学性能都相同的平面,那末该材料称为横观各向异性材料．例如，假定1-2平面是该特殊的各向同性平面，那末刚度中的下标l和2是可以互换的．这样应力—应变关系式中只有5个独立常数且可写成（1—16）如果材料有无穷多个性能对称平面那么上述关系式就简化为各向同性材料的情形，此时刚度炬阵中只有2个独立常数 （1-17）五种最常用的材料性能对称情形的应变-应力关系式见方程（1—18)，（1—19）,(1—20）,（1—21）和（1-22)各向异性材料(21个独立常数）（1—18)单对称材料（13个独立常数）(对于z=0的平面对称）（1—19)正交各向异性材料（9个独立常数）（1—20）横观各向同性材料(5个独立常数）（1—2平面是各向同性平而） （1—21）各向同性材料（2个独立常数） (1—22）1.2正交各向异性材料的工程常数工程常数（也称技术常数)是广义的弹性模量、泊松比和剪切模量以及其它性能常数．这些常数可用简单试验如轴向拉伸和疲劳试验来确定．因而具有明显的物理解释．这些常数比上一节中使用的比较抽象的柔度和刚度矩阵更为直观。

最简单的试验是在已知载荷或应力下测量相应的位移或应变．这样柔度矩阵比刚Sij比刚度矩阵Cij能更直接确定．对正交各向异性材料用工程常数表示的柔度矩阵为(1—23)其中E1 E2 E3——分别为1，2，3方向上的弹性模量 υij—-为应力在i方向作用时j方向的横向应变的泊松比即 (1-24)此处σi＝0,其它应力全为零G23 G31 G12——依次为2—3，3—1,1-2平面的剪切模量对于正交各向异性材料，只有9个独立常量,因为 （1—25）这是由于柔度矩阵是方程（1-9)证明的对称刚度矩阵（Cij)的逆阵，当用工程常数代入方程(1—25)时,可得 （1—26）这样正交各向异性材料必须满足这三个互等关系只有υ12 υ13和υ23需要进一步研究，因为υ12 υ13和υ23能用前三个泊松比和弹性模量来表达．后三个泊松比亦不应忽视，因为在某些试验中它们可以测到．在正交各向异性材料中υ12和υ21的区别可用图1-1来说明，该图表示了两种在单向应力作用下的正方形单元。

第—种情况应力作用在图1—1的1方向.由方程(1-20)和(1-23）得到应变为 （1—27）所以变形为 图1-1 υ12和υ21的区别 （1—28）其中裁荷方向由上标表示．第二种情况是，伺样的应力值作用在图2—1中2方向，可得应变为 （1-29）而变形为 （1—30)显然，如果E1>E2,则1Δ1〈2Δ2但是，由互等关系，不管E1和 E2关系如何,1Δ2=2Δ1这是用贝蒂（Betti)定理来处理各向异性材料的一个推广.即当应力作用在2方向引起的横向变形（或横向应变）和应力作用在1方向引起的相同由于刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆阵,由矩阵代数可得正交各向异性材料的矩阵之间的关系为(1-32）其中 (1—33)在方程（1—32）中,符号S和C在每一处都可互换以得到逆转关系式．用工程常数表示正交各向异性材料的刚度矩阵Cij可由方程(1—23)表示的柔度矩阵Sij的求逆得到，或者把Sij代入方程（1—32)和（1-33）得到．方程（1-15）中的非零刚度是（1—34）其中(1—35)特别指出，假如要明确一种材料是否是正交各向异性的，可以从各种角度进行力学性能试验，看它是否存在剪力耦合影响的方向，由此确定材料是否是正交各向异性的、各向同性的、或是其它的.确定材料主方向的最简单方法是直观法．但是，应用直观法材料的特性必须能很容易地用肉眼看出。

例如在用硼／环氧带制成的纤维增强简单层板中（图1—9）,容易看出纵向就是l—方向．同样，2-方向在带平面中垂直于纵向的方向．而3—方向则由垂直于带平面定出.13 弹性常数的限制13.1 各向同性材料对各向同性材料，弹性常数必须满足某些关系式．如剪切模量可由弹性模量贝E和泊松比，确定 （1—36）为了使E和G总是正值，即正的正应力或剪应力乘上对应的正应变或剪应变产生正功，于是 （1-37)同样，如果各向同性体承受着静压力P的作用,体积应变(即三个正应变或拉伸应变之和）定义为 (1—38）于是体积模量 (1-39）是正值．只要E是正值，则 （1-40）因为如果体积模量是负值，则静压力将引起各向同性材料体积膨胀．因此对各向同性材料，泊松比的范围是 （1-41)1。

32 正交各向异性材料正交各向异性材料弹性常数间的关系较为复杂．为了避免陷入基于各向同性材料工作基础上的错觉，那些关系式应认真研究，首先，应力分量和对应的应变分量的乘积表示应力所做的功,所有应力分量所做的功必须是正值,以免产生能量．该条件提供了弹性常数数值上的热力学限制．事实上对前面各向同性材料所做的就是这个限制的结果．该限制由伦普里尔（lempriere）推广到正交各向异性材料他要求联系应力—应变的矩阵在形式上是正定的,即有正的主值或不变量．于是,刚度和柔度矩阵两者都是正定的．这个数学条件可由下述物理论证来代替，如每次只有一个正应力作用,对应的应变由柔度矩阵对角线元素决定．于是，这些元素必须是正的，即 (1—42）或用工程常数表示 （1-43） ．同样,在适当的限制下，可能只有一个拉伸应变的变形．再则，功只是由相应应力产生的．这样，由于所作的功是由刚度矩阵的对角线元素决定的，这些元素必须是正的，即 （1—44）由方程(1-34） （1—45）同时，因为正定矩阵的行列式必须是正的，得 （1—46)由方程（1—32），根据刚度矩阵是正值导出 （1-47）利用柔度矩阵的对称性方程（1—12），得 (1—48）于是方程（1—45）可以写为 （1-49）如果Sij用工程常数表示，方程(1—49)也可以从方程(1—47）得到．同样,方程（1-46）可以表示为（1—50)亦可改写为（1—51）为了得到用另外二个泊松比υ32和υ13来表达一个泊松比υ21界限，方程（1-51)可进一步化为（1-52)对υ32和υ13可得相似的表达式。

前述对正交各向异性材料工程常数的限制,可以用来检验实验数据,看它们在数学弹性模型的范围内是否与实际相一致．在硼／环氧复合材料的试验中，迪克森(Dickerson）和戴马蒂诺（DiMartino）报道说，在1方向加载荷引起2方向应变的泊松比（υ12） 高达1.97,两个。