冲刺天高考文科数学解题策略专题八第四节运用等价转换思想解题的策略(新).doc

笫四节 运用等价转换思想解题的策略等价转换是四大数学思想乙一，在研究和解决中较难数学问题时，采用等价转换思想，将复杂的问 题等价转换为简单的问题，将难解的问题通过等价转换为容易求解的问题，将未解决的问题等价转换为 己解决的问题.近几年来高考试题要求学化要有较强的等价转换意识,等价转换思想的应用在近几年来高 考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想，难度值一般控制在0.3-0.7.考试要求：(1) 了解等价转换的数学思想和遵循的基木原则；(2) 了解等价转换思想在解题中的 作用；(3)掌握等价转换的主要途径、方法；(4)掌握几种常见的等价转换思路，灵活运用等价转换思 想解决数学难题.题型一利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换例］.(1)求sin2 20° + cos2 80° + 也sin 20° cos80° 的值;(2)求函数y = sin;i + Jl + cos2兀的最大值.点拨：(1)利用所求式与余弦定理类似，再结合正弦定理的推论求值；(2)将函数最值问题转换为 向量数量积问题，由数量积的不等式性质，求出y最大值.解:(1)注意到所求式与余弦定理类似，由c2 = a2 +b2 -2abcosC <^> sin2 C = sin2 A + sin2 B -2sin Asin BcosC・・・原式二sin2 20° +sin2l0° — 2sin20。

sin 10cos 150° = sin2150"=4(2)构造向量 a = (1,1),5 = (sin x, VI + cos2 x),则I a 1=1 b 1= V2 ,由Id•乙 l cos= x = k7r-\- — ,k eZ 时等号取得.2易错点：在本例的两个小题中：(1)若利用三角恒等变形，过程较为复杂，思路容易受阻；(2)容易想到用换元法和三角恒等变形求函数的最大值，不能联想到平面向量的数壘积，计算容易出错，解题思路容易受阻. 血“匕变式与 + ni n引申已知加w/T, Ra3或巫1 （舍去），/. ab>9（2）由门兀）是/?上的奇函数可得/（0） = 0,再利用/•"）的单调性,则可把原不等式转换成为关于&的三角不等式，/（Q是/?上的奇函数，又在[0, +勿上是增函数，故/（兀）是/?上为增函数.t /'（cos 2〃一 3） + f （4加 一 2mcos 0） > /（0） = 0f (cos 2^-3) > f (2m cos 0 - 4m)•・• f (x)是 /?上的增函数，二cos20-3 > 2mcos0一4m 即cos2 0-mcos0 + 2m-2 >0 = cos0 , ^e|0,—J, :.t el0,l].2于是问题转换为对一切的t g [0,1],不等式r - mt + 2加一 2〉0恒成立，t2 -2:.r-2>m(t-2)9 即加〉 恒成立.t-2:.fn> 4 - 2>/2『2 _ 2 2又・・・^^ = a —2) + -^- + 4S4 —2 血 t-2 t-2・•.存在实数满足题设的条件，加>4-2血.易错点：（1）不能将等式转换为函数或者不等式进行研究；（2）由己知不等式，结合函数的单调性、奇偶性找不到0和加的不等式；错误理解H变量貝为兀，不 能把问题转换为〃和加的函数或不等式问题；不能想到用复合函数的观点来研究加的取值，并且容易 把问题看成是/关于加的不等式问题，从而用根的分布來解决此问题，较为繁琐，容易出错.变式与引申2：己知函数f（x） = x4-2ax\（I）求证：方程/（x） = 1有实根;(II) h(x) = f(x)-x在[0, 1]上是单调递减的,求实数a的取值范围;(III) 当xe[(),lM关于x的不等式丨广⑴卜1的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值.题型三引入相关参数进行等价转换例 3.设 x.yeR,且 3x2 + 2y2 = 6x ,求 x2 +y2 的范围.点拨:本题的解法有多种，数形结合，三角换元都是比较容易想到的方法，我们也可以引入相关参数 进行等价转换解：由6x-3x2 = 2y2>0W0 0恒成立，所以2m +1 < 0 ,所以m < ,2即当加<-|时，抛物线上存在两点关于肓线y = m(x-3)对称，所以当m > 时，曲线y = x2的所有弦都不能被肓线y二m(x-3)垂真平分.易错点:不能从问题的反面作为切入点，对于垂肓平分认识不够深刻，找不出关于加的方程和不等式.变式与引申 4：已知三个方程：x2+4t/x-4t/+3 = 0, x2+（a-\）x + a2 =0, x1+2ax-2a = 0中至 少有一个方程没有实数解，试求实数Q的取值范围.本节主要考査；（1）等价转换思想在解题中的应用，几种常见的等价转换思路；（2）数形结合思想、方程思想、等价转换思想以及逻辑推理能力、运算求解能力等基木数学能力.点评：等价转换是把未知解的问题转换到在已有知识范用内可解的问题的一种重要的思想方法，通 过不断的转换，把不熟悉、不规范、复杂的问题转换为熟悉、规范英至模式法、简单的问题，不断培养 和训练自觉的转换意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧，等价 转换要求转换过程中前因示果是充分必要的，才保证转换示的结果仍为原问题的结果，等价转换思想方 法的特点是具有灵活性和多样性，在应用等价转换的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式 去进行，它可以在数与数、形与形、数与形Z间进行转换；它可以在宏观上进行等价转换，如在分析和 解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等 变形，消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现等价转换思想，更是经常在函数、 方程、不等式Z间进行等价转换，可以说，等价转换迅将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题 的真假不变，由于其多样性和灵活性，要合理地设计好转换的途径和方法，避免死搬硬套题型，在数学 操作中实施等价转换时，要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把遇到的问题，通过转换 变成比较熟悉的问题来处理；或者将较为緊琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代 数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转换为比较直观 的问题，以便精确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者正血难，则从反血进行转换，即反证法, 按照这些原则进行数学操作，转换过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转换思想，可以提高解 题的水平和能力.习题8-41.函数/（x） = x3 -3加+ 3b在（0,1）内有极小值，则b的取值范围是（）.A.（0,2） B.（0,1） C.（0,1] D. [0,2]2. （2011山东文科6）仙＞0）在区间0,-上单调递增，在区间兀71上单调一 3J.3 2J若函数/O) = smcox递减，则3二2 3A. — B. — C. 2 D. 33 23. 某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，己知该厂连续生产〃个月的累计产量为/（h） = + 1）（2〃 - 1）吨，但如果月产量超过96吨，将会给环境造成危害.（1） 请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；（2） 若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳。