统计物理学习讲义.ppt
25页
统计物理学习讲义中科院数学院复杂系统研究中心 复杂系统学习班 (CSSGBJ) 韩 靖2003年10月27日统计物理、自旋玻璃和复杂系统w统计物理做什么？ w自旋玻璃(Spin Glasses)是什么？ w它们在复杂系统研究中有何应用？ 它们的局限性？ w探讨：对我们的研究有何启发？学习提纲和计划 (欢迎补充修改)w基本概念介绍nEntropy, Boltzmann分布(partition function)nExample: K-SAT问题的相变 wDynamics and Landscapesn各态历尽, landscapes, Monte Carlo SimulationnExample: Simulated Annealing(模拟退火) wMeanfield, Replica Symmetry, Cavity MethodsnMeanfield 用于网络动力学的例子nReplica Symmetry 用于组合问题的例子nCavity Methods: Survey Propagation wCritical Phenomena n量子场 - 量子，电磁场 - 光子等 wComplex systems examples:n生态系统 - 物种n社会系统 - 人n计算机网络 - 计算机n市场 - 经纪人agentn鱼群 - 鱼、鸟群 - 鸟、蚁群 - 蚂蚁n组合问题 – 变量 –研究复杂系统为什么要学习统计物理？Collective Behavior 群体行为w集体行为：n系统由大量相似的个体组成n全局行为不依赖于个体的精确细节， 而相互作用必须合理定义，并且不要太复杂；n个体在单独存在的行为与在整体中的行为很不一样. (在整体中各个体行为变得相似)；n相互作用的类型：吸引、抗拒、对齐…n主要的集体现象：相变、模式形成、群组运动、同步… n研究手段：统计物理、多主体计算机模拟 w“磁化”现象:go个体行为 邻居动作的平均方 向 w同步掌声 w恐慌现象http://angel.elte.hu/~vicsek/自旋玻璃(Spin Glasses)w简单的理想模型，性质丰富，易于研究 w个体:spin si; 系统:多个spin局部相互作用 w以最简单的Ising模型为例：nsi=1 或者 –1n在lattice上排列，相邻spin之间有相互作用n能量(Hamiltonian)：E = - J(i-1)isi-1si Jij>0, 偏好相邻同向；Jij=∑PJ(s)g(s) wSo-called ‘Disorder’: Structural parameter J is random and have large complexity自旋玻璃例子- K-SAT问题w经典NP-完全问题 wN个布尔变量: xi=True/False, si=1/-1 wM个clauses: M个含k个变量的逻辑表达式K=3, 3-SAT: c1:x1 or (not x3) or x8, c2:(not x2) or x3 or (not x4), c3:x3 or x7 or x9,… w目标：满足所有M个clauses 的 N个布尔变量的一组赋值 wSpin glass 的能量 E =- a=1,M(Ca =T), Ground State E=-M 解状态 w结果：当K=3, M/N ~4.25, 问题求解困难 恐慌现象w行人建模： 期望移动速度、与他人的排斥力、与墙壁的作用力、个 人速度的扰动 w恐慌（由于火灾或者大众心理）：n人们希望移动更快n人与人之间的物理冲突更厉害；n出口处障碍、堵塞形成；n危险压力出现；n人群开始出现大众恐慌心理；n看不到其它的出口； w计算机模拟实验： (Go) n单出口房间：无恐慌、恐慌、惊跑、带圆柱、火灾n走廊：直走廊、中间加宽的走廊n人群：个人主义、群体心理、两者综合Begin…w统计物理能做什么？怎么做？ w基本点：n只关心状态的概率，并不关心演化的过程 （假设各态历经）n熵最大 w核心： Boltzmann分布(partition function)学习提纲和计划w基本概念介绍nEntropy, Boltzmann分布(partition function)nExample: K-SAT问题的相变 wDynamics and Landscapesn各态历尽, landscapes, Monte Carlo SimulationnExample: Simulated Annealing(模拟退火) wMeanfield, Replica Symmetry, Cavity MethodsnMeanfield 用于网络动力学的例子nReplica Symmetry 用于组合问题的例子nCavity Methods: Survey Propagation wCritical Phenomena & Power-lawn相变nSOC, HOT/COLD理论EntropywMicrostate r: a specific configuration of system wMacrostate R: an evaluation value wΩ(R): number of microstates related to a macrostate wMicro-canonical entropy: S(R)=k log Ω(R) More General forms: wA macrostate R: {pi} for system be found in a microstate iA distribution of microstates. wGibbs Entropy: S(R) =-k ∑pi logpi Maximum the most possible distribution of microstatesWithout constraint on pi, pi=1/N S is maximized Ω({Ω({n ni i})=M!/n})=M!/n1 1!n!n2 2!.!.n nN N!, !, p pi i= =n ni i/M/MWith Constraint on pi: Partition Function ZwObservable quantity E (Hamiltonian) wErgodic Hypothesis (time average=ensemble average) wWe know: nFrom experiments: , nEi for all ri, and = = ∑piEi, ∑pi=1. wWe want to know the most probable distribution of microstates wMaximize S=-k∑pilogpi and we get:pi=e-βEi/Z, Z=∑ie-βEi (β=(kT)-1) wSo, {pi} and β is decided by {Ei} and wKnowing βor T and {Ei}, we can define the most possible distribution of microstates {pi} and Z wβ T Z distribution is less symmetricalToy ExamplewThree microstates: E1=0, E2=2, E3=3 wWe have p1E1+p2E2+p3E3=e.g. 2p2+3p3=, and p1+p2+p3=1 w 3 temperatures: decreasing order of TβZ p1p2p3 11.50.1052.5400.3930.3190.287 210.4201.7160.5830.2520.165 30.31.0831.1540.8670.0990.034Important conceptslPartition function: Z(T,E)=∑re- E(r)/TKnowing this, we can do a lot of things! Variance of E, #sol, … lFree Energy: F = -k T lnZ (?) lEntropy S=- (F/ T)E=-k ∑pilnpi Z and #sol (ground state)wZ (T)=∑re-E(r)/T = ∑H={1,2,…}∑r|E(r)=H e-H/T wWhen T→0, system are most likely in the ground state. e-E(r)/T →0 except E(r)=0 wZ(0)= ∑ r|E(r)=0 e-0 =∑ r|E(r)=0 wSo, number of ground states = Z(0). wIn T>0, Z also counts other r that E(r)>0. But the lower T, the r with lower E(r) Z counts. Z is decreasing when T is decreasing. wThe K-SAT result considers T=0.学习提纲和计划w基本概念介绍nEntropy, Boltzmann分布(partition function)nExample: K-SAT问题的相变 wDynamics and Landscapesn各态历尽, landscapes, Monte Carlo SimulationnExample: Simulated Annealing(模拟退火) wMeanfield, Replica Symmetry, Cavity MethodsnMeanfield 用于网络动力学的例子nReplica Symmetry 用于组合问题的例子nCavity Methods: Survey Propagation wCritical Phenomena & Power-lawn相变nSOC, HOT/COLD理论各态历尽w对任意2个系统状态r1和r2, r1可以经过有限 部变换到r2.00 0110 11熵最大分布的三个条件w Rij=probability of ri changes to rj w方程的平衡状态是熵最大分布, 必须要满足：np=R·p, R 有唯一的主特征向量(特征值为1)n各态历经n细致平衡：平衡态时，pi·Rij=pj·RjiErgodicity breaking and LandscapewMapping of microstates onto energiesbarrierr1r2r3rn…Very high, unlikely to cross, when system size is large, T is low:pi/pj=e-(Ei-Ej)/TMonte Carlo Simulationw设定状态转换矩阵，使得系统演化服从我们希望的 状态分布 P。
w如果各态历尽和细致平衡，有w 把P代入就可以得到RijSimulated Annealingw目标P是Boltzmann分布：pie-Ei/T wRij/Rji=e-(Ej-Ei)/TRij= 1if EjEie-(Ej-Ei)/T if Ej>Ei wSimulated Annealing:nWe want to minimize EnT=0, ergodicity breaking, favors minimal EnT>0, barriers can be crossed, favors more states wMost problems hav。
