空间两条直线的关系.doc

空间两条直线的关系摘要：本文通过空间两条直线上的三个重要向量，表现出了空间两条直线的位置关系，从而得出了用三个向量表示空间直线关系的充要条件，可以方便的解决关于空间两直线关系的问题.关键词：空间直线；异面；相交；平行空间两直线的关系有异面和共面两种，其中共面直线又可以分为相交，平行，重合三种.在仿射坐标系中，设两直线与过点与，方向向量分别为 ,，那么它们的标准方程为: .与的关系取决于三个向量, , 的相互关系；（1）当且仅当三向量, , 异面时, 与异面，即不共面；（2）当且仅当三向量, , 共面时, 与共面；在共面的情况下：（1）如果, 不平行时, 与相交； （2）如果, 平行但不平行于，那么与平行；（3）如果, , 的相互平行，那么与重合；因此，我们可以得到下面命题：命题 1，与异面（, , ）.2，与相交（, , ）=0且, 不共线.3，与平行, 共线.但和不共线.4，与重合, , 为共线向量.用坐标表示，则有下面推论：推论 1.与异面； 2.与相交且； 3.与平行； 4.与重合；下面我们要定义空间两直线的夹角，即平行于空间两直线的两向量间的夹角.两直线与间的角记做，空间两直线与的夹角，如果用它们的方向向量, 之间的角表示，就是. 因此，在直角坐标系里，空间两直线的夹角的余弦为通过两直线的夹角我们可知两直线垂直的充要条件是：.综上所述，我们可判定空间两直线的关系为异面，相交（垂直），平行，重合五种.通过以上几种关系的充要条件，我们可以已知两直线方程，求两直线的关系.求通过某点且与已知两直线关系的方程.已知两个含参直线关系，求直线的方程中的参数.求通过某点且与一直线关系的直线方程.求与三条直线有关系的方程.例一 已知两直线求两直线与的关系.解：因为直线过点，方向向量为，而直线过点，方向向量为，因为 从而有 .所以与为两异面直线.例二 求通过点且与两直线 都相交的直线的方程.解 设所求直线的方向向量为，那么所求直线的方程可写成因为与，都相交，而且过点，方向向量为过点方向向量.所以有即即由上两式得， 显然又有 即不平行于，即不平行于.所以所求直线的方程为.例三 确定的值使下面两直线相交. 轴.解：因为直线的方向向量.又因为 所以令 ，解 得所以过点又过点且方向向量.所以 解得 例四 求过点且与直线垂直相交的直线.解：设所求直线方向向量为因为过点，方向向量为又因为与相交所以 解得 又因为与垂直所以两直线夹角的余弦 所以 综上得方程组： ，解得 ，显然 所以所求直线的方程为例五 求直线，平行且与下列两条直线和相交的直线的方程.解：直线的方向向量,因为与平衡，所以取作为与的方向向量.又因为过点，方向向量， 过点，方向向量.直线与相交，那么必定在经过点，方向向量为的平面上，则该平面方程为 ，展开得 同理，又落在经过点方向向量为的平面上，所成的平面方程为 ，即 .所以所求直线的一般方程为.参考文献[1] 李养成. 空间解析几何（新版）[M] 北京:科学出版社,2007年.[2] 周建伟. 解析几何 [M] 北京:高等教育出版社, 2005年.1。