5.函数的连续性与间断点.doc

河北科技大学教案用纸第 6 次课 2 学时上次课复习：1、两个重要极限 2、无穷小的比较 本次课题（或教材章节题目）：第九节： 函数的连续性和间断点教学要求：掌握函数在某点连续的定义，理解函数在区间上连续的概念，会求函数的间断点及判别其类型重 点：连续的概念，求间断点难 点：求某些函数的间断点及分类教学手段及教具：讲授讲授内容及时间分配:函数在某点连续的定义 25分钟区间上连续的概念 15分钟函数的间断点及分类 15分钟 例题 35分钟课后作业P80-81 1. 2.. 3.参考资料 §1.9 函数的连续性与间断点一、函数的连续性连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。

这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题1．函数的增量一个变量u 由初值 变到终值 ，终值与初值之差称为u的增量( 或改变量)，记作 对于函数，设它在及的某个邻域内有定义，在处给自变量 x 一个增量，则函数有相应的增量（几何解释）解：（略）2．函数的连续性如果自变量 x 的增量 很小时，函数y 的增量 也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的定义 1：设在的某邻域内有定义，如果当自变量x 在的增量时，相应函数的增量，就称函数在 点处连续注 ：在点连续例2 ：证明函数在x=1 处连续证明：函数的定义域为，在x=1 的邻域内有定义类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续定义2：设在的某邻域内有定义，如果 时f(x)的极限存在，且等于它在的函数值,即，则称 f(x) 在点连续 左（右）连续：若，就称在点左连续若，就称在点右连续 如果在区间上的每一点处都连续，就称在上连续；并称为上的连续函数；若包含端点，那么在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续 连续函数的图像是一条不断开的曲线定义1ˊ：设在的某邻域内有定义，若对，当时，有，就称在点连续 定理：在点连续在点既左连续，又右连续。

例3】多项式函数在上是连续的；所以，有理函数在分母不等于零的点处是连续的，即在定义域内是连续的以上由§1.6【例2】的推论1、推论2即得例4】不难证明在上是连续的例5】证明在点连续证明：，又，所以由定理 在点连续； 或由前§1.4习题5知，所以 在点连续例6】讨论函数 在的连续性解： ，因为，所以该函数在点不连续，又因为，所以为右连续函数二、函数的间断点 通俗地说，若在点不连续，就称为的间断点，或不连续点，为方便起见，在此要求的任一邻域均含有的定义域中非的点间断点有下列三种情况：（1）在没有定义；（2）不存在；（3）虽然存在，在点也有定义，但几种常见的间断点类型：【例7】设，当，即极限不存在，所以为的间断点因为，所以为无穷间断点例8】在点无定义，且当时，函数值在与之间无限次地振荡，而不超于某一定数，见书上图，这种间断点称为振荡间断点1. 均为振荡间断点2、 不连续，连续例9】 在点无定义，所以为其间断点，又，所以若补充定义，那么函数在点就连续了故这种间断点称为可去间断点例10】 [例6]的函数在点不连续，但左、右极限均存在，且有不等于的，这种间断点称为跳跃间断点。

例如在处即为跳跃间断点归纳：(1)，为无穷间断点； (2)震荡不存在，为震荡间断点； (3)，为可去间断点； (4)，为跳跃间断点 如果在间断点处的左右极限都存在，就称为的第一类间断点，显然它包含(3)、(4)两种情况；否则就称为第二类间断点第39页。