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几何证题方法探讲一一割补法湖北武汉新洲郑城二111何春莲在求解平面几何问题时根据问题的题设何结论合理适当地 将原来的图形割去一部分，或补出一部分，变成一个特殊的，简 单的，整体的，熟悉的图形，使原来问题的本质得到充分显示， 通过对新图形的分析，探索原来问题的答案，我们把这种方法称 之为割补法1.补出直角三角形如果图形中有直角三角形或相邻两角互余的情况，可以考虑 通过整形，补出或补成直角三角形来解题例 1.如图 1,四边形 ABCD 中，ZB=ZD=90 ,ZA=60 , AB=4, AD=5,求 BC, CD 的长图i2.补出等腰三角形如果图形涉及三角形或四边形某角的平分线，或三角形一边上的 中线（或高）与角平分线联系，可以考虑补出等腰三角形来例 2.如图 2,在三角形 ABC44, AB=AC, ZABC=90 ，D是AC上一点，且AE垂直于BD的延长线于E,且AE= (1/2)BD,求证：BD平分ZABCo3 .补出正三角形如果多边形有一个角为60或120 ，涉及到线段，可以考虑将图形补成一个正三角形例 3.如图 3, AA,BB,CC交于点 0,且 AA=BB=CC=1,Z AOC= ZBOAf= Z COB=60 (1 )求证：Sa ABC* +Saboa* +Sacob, <(2)求证：S△AOC , Sab()A, , SacOB, 中至少有一个不大于(J (3)/16).。

证明：(1) 延长AX至E,使AE=OA,延长BB，至D,是BD=BQ 连接DE,在DE上截取F,使EF=OC,易证△ ODE为正三角形,DF=OC,则八 AOC 丝△AEF,ABOC ^ABDF• SaEFA, +S/XBOA，+ SABDE VS 正ZkODE. . SaaOC +Saboa* +Sacob, VS 正mde又 Saqde =( " (3)/4)即 Saaoc + Szsboa，+ Sz\cob，V( V (3)/4)(2) 设 OA=a, OB=b, OC=c则 OAF —a, OBF —b, OC=1 -c*•* Saaoc-(』(3)/4)a(l— c),Saboa=(』(3)/4)b(l — a),SABoc =("(3) /4)c(l-b)Saaoc — Saboa — Sacob* W V (3)/4) A3)a( 1 — a)b( 1 — b)c( 1 — c)又,: a2-a+(l/4)^0? a(l—a)W(l/4)同理 b(l・b)W(l/4),c(l—c)W(l/4)则 Saaoc-Saboa -Sacob^(((』(3)/16))人3)• • SaaocsSaboasSacob*1^至少有一个不大于("(3) /?)4 .补出平行四边形[例 4] 凸四边形 ABCD 中，ZA=ZB=ZC=ZD=ZE=ZF,且 AB+BC=11,FA-CD=3,求 BC+DE.解：由题意知，AF〃CD,BC〃EF,则可以将六边形补成平行四边 形MCNF,, AABM,ADEN均为等边三角形。

MC=AB+BC=11 ①FA=MF.AM=CN・AB=CD+DE.AB于是 FA-CD=DE-AB=3则DE・AB= 3 ② ①+②得DE+BC=14淤 此例也可以补成正三角形[例 5] 如图，在ZXABC 中，AD1BC 于 D,ZABC=45 , BC=3,CD=2,求 Saabc解：将左ABC沿直线AC翻折得AACF,将ABC沿直线AB翻折 得ABE,分别延长FC,EB交于G,可证出四边形AEGF为正方形，设AF=AD=AE=x,贝U CG=x —2,BC=x.3,在直角三角形BCG中，BC2=CG2+BG2(2 + 3)2 =(x — 3)?+(x —2尸 解得 x=6(负值舍去)贝ij Saabc=15B6.补出圆已知共顶点的两条相等线段，角之间的关系，可以公共顶点为圆 心补出圆，以较方便转化角，转化线段之间的关系[例6] 如图，若PA=PB,NAPB=2匕ACB,AC与PB交于点D, 目.PB=4, PD=3,贝lj AD . DC=( )A. 6 B. 7 C. 12 D. 16解：以P为圆心，PB长为半径作圆PA=PB, Z APB=2 匕 ACB点A,点C都在圆上，延长BP交圆P于点E,则BE=8PD=3 ...BD=1, DE=7,由相交弦定理知：AD・DC=7。