第三章多维随机变量和分布习题集).doc

wd习题三一、填空题1.设两随机变量, 且=, 那么 5/7 .2.设二维随机变量的联合概率分布为 12310230X12311/41/21/4那么关于的边缘分布律为.3．假设的联合分布律为123121/61/31/91/18应满足条件是 .假设相互独立那么= 2/9 ,= 1/9 ；4.设独立同分布, 且的分布律为, 那么随机变量的分布律为 P(Z=0)=0.25, P(Z=1)=0.75 ；5.设二维随机变量的联合概率密度为那么概率=____0.3____6. 设 () 联合概率密度为那么系数=6；7.设二维随机变量的联合概率密度为，那么c= 21/4 8.设二维随机变量〔X，Y 〕的概率密度为那么关于X的边缘概率密度是.9. 设随机变量X和Y相互独立，且X在区间上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，那么.10.设随机变量与相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，那么= 1/9 .11. 假设.12．独立且服从于一样的分布函数，假设令，那么.二、选择题1.设随机变量的分布函数为，其边缘分布函数是〔B〕2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,那么〔A〕〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.3．设随机变量X与Y相互独立，它们的概率分布依次为X-11Y-11p1/21/2p1/21/2那么以下各式正确的选项是〔C〕〔A〕X=Y.〔B〕P{X=Y}=0.(C)P{X=Y}=1/2. (D)P{X=Y}=1.4.设〔X，Y〕的联合概率密度函数为,那么以下结论中错误的选项是〔B〕.〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.5. 设二维随机变量的联合概率密度为，那么X,Y满足〔 C 〕〔A〕独立同分布.〔B〕独立不同分布.〔C〕不独立同分布.〔D〕不独立也不同分布.6. 设随机变量相互独立，且分别服从和，那么〔B〕〔A〕. 〔B〕.〔C〕 . 〔D〕 .7. 设X与Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，那么的分布函数为〔D〕〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.8.假设,且X与Y相互独立,那么〔C〕〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.9.，，且相互独立,记〔A〕〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.10.设相独立且都服从,那么下式成立的是〔B〕〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.三、计算以下各题1. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出的联合概率分布律。

解.2.袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，求〔1〕二维随机变量的联合概率分布律;〔2〕X，Y的边缘分布律解：〔1〕X，Y的取值范围为0,1,2，故 XY01201/41/61/3611/31/9021/900〔2〕012225/365/181/364/94/91/93. 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能取一个整数值，求〔1〕的联合分布律；〔2〕X，Y的边缘分布律解：由题意，那么由概率的乘法公式有因此 XY123411/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/481/41/41/41/414. 随机变量的概率分布：1/41/21/41/21/2且.〔1〕求的联合分布，〔2〕问是否独立？为什么？.解Y X-101P．j0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/41〔1〕设的联合分布为Y X-10101/401/4101/205.假设随机变量和相互独立，都服从同一分布：01221/41/21/41/41/21/4求概率．解注意，两个随机变量同分布，并不意味着它们相等，只说明它们取同一值的概率相等．由全概率公式及和相互独立，可见6. 设随机变量 () 的联合密度为，求：〔1〕系数k； 〔2〕； 〔3〕。

解：〔1〕〔2〕〔3〕=7.设二维随机变量的概率密度为，求〔1〕常数〔2〕随机变量的边缘密度，〔3〕概率解〔1〕. ，(3) .8.假设一微波线路有两个中间站，它们无故障的时间和是随机变量，其联合分布函数为(1) 求两个中间站连续100小时无故障的概率；(2) 证明和相互独立．解(1)连续100小时无故障的概率(2) 现在证明和相互独立．以和分别表示和的分布函数，那么由于，可见和相互独立．9. 设二维随机变量的概率密度为求：〔1〕关于X和关于Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立？〔2〕解：〔1〕由于〔2〕9. 雷达的圆形屏幕的半径为，设目标出现点在屏幕上均匀分布，〔1〕求的边缘概率密度，〔2〕问是否独立？10. 设两个独立随机变量的分布律为, 求的分布律，的分布律 .解由独立性可得〔〕〔1，2〕 〔1，4〕 〔3，2〕 〔3，4〕 0.18 0.12 0.42 0.28 3 5 5 7 –1 –3 1 –1所以的分布律与的分布律分别为Z357W–3–10.18 0.54 0.280.120.460.4211. 设随机变量的联合概率密度, 求的概率密度。

解.12. 设二维变量的概率密度为求 (1)；(2)的概率密度解：(1) ，其中D为中的那局部区域； 求此二重积分可得(2) 当时，； 当时，； 当时， 当时， 于是.13.随机向量的概率密度为求随机变量的概率密度．解对于和，显然=0．(1) 设．注意到，当时=0．因此，由二随机变量之和的概率密度公式，有．(2) 设．注意到当时．由二随机变量之和的概率密度公式，有．于是，随机变量的概率密度14． 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为并设各周的需要量是相互独立的，试求〔1〕两周〔2〕三周的需要量的概率密度解：〔1〕设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量且为同分布，其分布密度为Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：∵z≥0∴当z<0时，fz (z) = 0当z>0时，由和的概率公式知∴〔2〕设z表示前两周需要量，其概率密度为 设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：z与ξ相互独立η= z +ξ表示前三周需要量那么：∵η≥0， ∴当u<0， fη(u) = 0当u>0时所以η的概率密度为15.假设是一矩形，随机变量和的联合分布是区域上的均匀分布．考虑随机变量求和的联合概率分布．解　易见，假设，那么随机变量和的联合密度为，否那么．例3.19插图x= yx =2yy1 0G1G2G32x直线和将分为三局部(见插图)：， ，．易见随机变量和的联合概率分布:有等4个可能值，因此V U0101/41/4101/2于是，和的联合分布为16.假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否那么整个电路不正常工作.试求电路正常工作时间T的概率分布。

解以表示第个元件无故障工作时间，那么独立且分布函数为.. 所以T服从参数为的指数分布17．设某种型号的电子管的寿命〔以小时计〕近似地服从N〔160，20〕分布随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，均服从N〔160，20〕分布，由设N=min{X1，X2，X3，X4}P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180} =P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063。