北京大学量子力学课件 第9讲.pdf

第第 九九 讲讲第第 九九 讲讲宇称宇称宇称宇称( (1）1）已证已证明明，，位势在位势在的变换下不变的变换下不变，，xx( (明明位势在位势在则可选具有确定的宇称的函数作为能量本征态的则可选具有确定的宇称的函数作为能量本征态的解解解解把以把以偶函数描述的态称为偶宇称态偶函数描述的态称为偶宇称态)x(u)x(un1n1)(u)(un1n1奇函数描述的态称为奇宇称态奇函数描述的态称为奇宇称态)x(u)x(un2n2宇称的概念是量子力学所特有的 宇称的概念是量子力学所特有的 2) 有限对称方位阱有限对称方位阱：：(2) 有限对称方位阱有限对称方位阱：：2axV)x(V02ax0)x(V仅讨论束缚态，所以仅讨论束缚态，所以0EV0由于是一维对称势的束缚态 因此其解必由于是一维对称势的束缚态 因此其解必具有确定的宇称具有确定的宇称所以所以只要在区域只要在区域中求解中求解0具有确定的宇称具有确定的宇称所以所以，，只要在区域只要在区域中求解中求解A．．偶宇称解偶宇称解：：0x 偶宇称解偶宇称解：：)x(Eu)x(u)x(V)x(u2 )x(Eu)x(u)x(V)x(um2由于由于，，有解有解0EV0由于由于，，有解有解0EV02ax0xαsinBxαcosA2axDeCe2)x(uxβxβ，，2其中，，。

其中，，2mE2α20)EV(m2β由于是由于是偶宇称解，所以其导数为奇函数偶宇称解，所以其导数为奇函数，，即在即在处处导数为零的解导数为零的解于是于是要求要求00B即在即在处处，，导数为零的解导数为零的解于是于是，，要求要求另外另外，，要求解有界要求解有界，，所以可能解为所以可能解为0x 0B另外另外要求解有界要求解有界所以可能解为所以可能解为2ax0xαcosA)x(u2axCe2)x(uxβ利用处，波函数及其导数连续，，令利用处，波函数及其导数连续，，令2ax uu22a,a222   tan而而22022a2mV 由这两个方程→由这两个方程→2  m2αE22()在第一和第三象限所以，  , 0a2axCexβa2axxαcosA)x(uxβ2axCexβB．奇宇称解：．奇宇称解：由于是奇宇称解，波函数在由于是奇宇称解，波函数在处应为处应为0于是于是A＝＝0得解的形式得解的形式0x处应为处应为0，，于是于是A＝＝0。

得解的形式得解的形式0x a0iBaC2x0xαsinB)x(uxβ2xCexβ同理在处连续，得同理在处连续，得uu2ax ηξcotξ另外另外22022a2mVηξ从而求得从而求得22  αE22从而求得从而求得→→（）（）  m2E 在第二和第四象限所以，ξ, 0η 而相应波函数为而相应波函数为在第和第四象限所以ξ,ηaxCex axxsinB2xCe)x(u  axCe2xxsinB)x(ux  2xCeC．讨论．讨论1当当2220πamV1. 当当即即只有个解只有个解而在区域而在区域22a2222πξ即即, 只有只有一一个解个解而在区域而在区域222πηξπ中点中点为态为态2πxα中中无零无零点点，即，即为为基基态态 ;当当222π2mVπ当当2202π2a2mV2π时，这时交二个点，即有二个分立能级时，这时交二个点，即有二个分立能级基态无零点：第一激发态有一个零点。

当基态无零点：第一激发态有一个零点当22V) 1(022002πna2mV2π ) 1n(时，交个点，有条能级时，交个点，有条能级等高有限方位势等高有限方位势分立能级数目取决于分立能级数目取决于0n0n等高有限方位势等高有限方位势，，分立能级数目取决于分立能级数目取决于20amV的大小但不管如何小，总有分立能级，的大小但不管如何小，总有分立能级，至少至少个个0一一个个2.2. 在经典力学中在经典力学中，，当当时时，，粒子只能粒子只能0VE 2.2. 在经典力学中在经典力学中，，当当时时，，粒子只能粒子只能0处于区域中而量子粒子，则有一定的几处于区域中而量子粒子，则有一定的几率处于率处于区域中区域中而且必须有而且必须有正是由于正是由于2a2aEV率处于率处于区域中区域中，，而且必须有而且必须有正是由于正是由于这这一一点点，，无论无论如何小如何小，，至少有至少有一一个解个解EV020amV这点这点无论无论如何小如何小至少有个解至少有个解(3) 求粒子在双位阱中运动求粒子在双位阱中运动A位势两边的波函数导数间的关系位势两边的波函数导数间的关系  0A．．位势两边的波函数导数间的关系位势两边的波函数导数间的关系 )(E)()(V)(2 其中其中)x(Eu)x(u)x(V)x(um2 )(δ)(其中其中，。

)ax(δV)x(V0)(mV2)0()0(0)a (uV)0a (u)0a (u20B．求双位阱解B．求双位阱解 )ax(δ)ax(δV)x(V0)x(Eu)x(u2 ax0)x(Eu)x(um2ax 令令2mE2Κ在在区域有解区域有解，，即即2)a , 0(xxe ,e在在区域有解区域有解即即,xsinhCxcoshB  在在区域有界区域有界, ,于是有解于是有解ax xΚAe在在区域有界区域有界, ,于是有解于是有解1．偶宇称态解1．偶宇称态解Ae   axAeaxxcoshB)x(ux0   axAe由波函数在a处连续由波函数在a处连续a由导数间的关系为由导数间的关系为acoshBAea  由导数间的关系为由导数间的关系为aaAemVasinhBAe   02所以所以AeasinhBAe    2mV20所以所以，，asinhBAemV2a20于是有于是有1atanh01atanh代，代，200mV2ay得得a21yaytanh0，偶宇称态的能量为偶宇称态的能量为2g2gyE12gma2Eaya210g0其相应的波函数为其相应的波函数为axAea/xygaxAeaxa/xycoshB)x(ua/xygg2 2奇宇称解奇宇称解：： axAe2 2．．奇宇称解奇宇称解：：由波函数在处为零，于是有由波函数在处为零，于是有0x ax0xsinhB)x(uaxAe)x(ux由波函数在处连续由波函数在处连续ax 波函数导数在波函数导数在处的联系处的联系aAeasinhBax 波函数导数在波函数导数在处的联系处的联系aaAmVhBA  02ax aaAeacoshBAe    20aAeacoshB   0得得yayytanh  0ya  0奇宇称态的能量为奇宇称态的能量为2121aym2Eam2a002y001axAea/xy1axAeaxa/xysinhB)x(ua/xy111 axAe结论：结论：①① 当位势有对称性时，用宇称概念求当位势有对称性时，用宇称概念求解简易得多解简易得多解简易得多解简易得多。

②② 位势如为位势如为势势，，则在其宗量为零处的则在其宗量为零处的 ②② 位势如为位势如为势势，，则在其宗量为零处的则在其宗量为零处的波函数导数间的联系为（）波函数导数间的联系为（） )ax(δVV0)a (umV2)0a (u)0a (u20§3.7 束缚能级与反射振幅极点的关系§3.7 束缚能级与反射振幅极点的关系Max Born 给出定态散射解Max Born 给出定态散射解eθf)θ(ikrikzrφ ,θfe)φ ,θ , r (ψikz（如相如相互互作用力程有限作用力程有限，，或当或当比还比还r012如相作用力程有限如相作用力程有限或当或当快）快）束缚态束缚态矩阵的极点矩阵的极点r2束缚态束缚态S S矩阵的极点矩阵的极点在在一一维情况下维情况下，，对应的极点应是对应的极点应是反射振幅的反射振幅的在维情况下在维情况下，，对应的极点应是对应的极点应是反射振幅的反射振幅的极点极点，而不仅是透射振幅的极点因有些问题是，而不仅是透射振幅的极点因有些问题是有射振幅有射振幅任何散射过程总存在射振任何散射过程总存在射振没没有有透透射振幅射振幅。

但但任何散射过程总任何散射过程总是是存在存在反反射振射振幅幅1）半壁δ位阱的散射（1）半壁δ位阱的散射0x)x(VA AE>0E>0由右向左入由右向左入0x)ax(V)(0 A A．．E>0E>0，，由右向左入由右向左入射由于入射波经位势射由于入射波经位势的作用所以，在区域的作用所以，在区域和区域和区域都有都有a0ax 和区域和区域都有都有反射波a0ax ax0kxsinBaxRee)x(uikxikxax0kxsinB由波函数连续，及其导数的关系（在处）由波函数连续，及其导数的关系（在处）ax ikikkasinBReeikaikamV20ikikkasinBmV2kacosBk)Ree(ik20ikaikaikmV2∴∴ika220ikaemV2kasinkmV2eR20ikakasinkmV2ekimV2ie2B0ikaikakasinke20ika透射振幅为零，只有反射振幅透射振幅为零，只有反射振幅 imE2imE2k22代入R分母得代入R分母得mV20asinhmV2e20a   0asinhasinhacosh0  其中其中 200mV2 其中其中20 yyyytanh而而，，yy0aKy00Kay 而而这与直接求解双对称势的奇宇称所得的这与直接求解双对称势的奇宇称所得的确定本征值的方程完全致确定本征值的方程完全致00 确定本征值的方程完全确定本征值的方程完全一一致致。

2 2））有限深方位阱有限深方位阱：：（（ ））有限深方位阱有限深方位阱：：ax, 0xV)x(V0ax00)x(V当当0VE ax0BeAe0xRee)x(uxikxikikxikx11axSeax0BeAe)x(uikx其中其中0)VE(m2k1mE2k 其中其中,,,,,,可得可得2k21kaksin)kk( iakcoskk2aksin)kk( iR221212aksin)kk( iakcoskk21111ekk2S22ika1若位势有束缚态若位势有束缚态，，则则，，而而aksin)kk( iakcoskk2122111 ik 若位势有束缚态若位势有束缚态，，则则，，而而 0)EV(m2 为为R或或S的极点的极点 2 为为R或或S的极点的极点 0aksin)k( iakcoski 2122111  令令)(1111  ak1 a  令令，，2 2      2222cossin222tan     2222sincos2tan                tantan)(tancot或      cottan或§§3.8 一维谐振子的代数解法：一维谐振子的代数解法：若粒子在若粒子在2x1)x(V中运动中运动x2)x(VEuu)xΚ21d2(2222令令，，则则)2dxm2(2Κω 令令，，则则mEuu)xωm1d(2222该问题还有其他办法求解该问题还有其他办法求解那就是用算符代那就是用算符代Euu)xωm2dxm2(2该问题还有其他办法求解该问题还有其他办法求解，，那就是用算符代那就是用算符代数来求解。

数来求解1）能量本征值）能量本征值在本征方程中在本征方程中我们有参数我们有参数由它由它ωm 在本征方程中在本征方程中，，我们有参数我们有参数，，由它由它可组成可组成ω,,m 长度长度，，质量质量m，，时间时间于是有于是有1长度长度，，质量质量m，，时间时间于是有于是有能量，动量，角动量，质量能量，动量，角动量，质量m，，ωωmω21m  时间，长度为单位时间，长度为单位ω1ωm定义二个无量纲的算符定义二个无量纲的算符ωωm]x ˆp ˆ)m( i [ma ˆx 122m ]x ˆp ˆ)m( i[ma ˆx    12现看现看im1122 ]p ˆx ˆx ˆp ˆix ˆmp ˆm1[21a ˆa ˆxx22x    21Hˆ1]p ˆx ˆx ˆp ˆix ˆmp ˆ1[21a ˆa ˆxx22x m2 1Hˆ1  2H于是，有二个重要结论：于是，有二个重要结论：1]ˆˆ [A.B1]a ˆ , a ˆ [  )ˆˆ ()ˆˆ (Hˆ11B. 现看现看        )a ˆa ˆ ()a ˆa ˆ (H22)Hˆ(a ˆ)21a ˆa ˆ (a ˆa ˆ)21a ˆa ˆ (a ˆHˆ若是的本征态，相应本征值为，若是的本征态，相应本征值为，即即22nuHˆnEˆ即即则则nnnuEuHˆˆˆnnnnua ˆ )E(u)Hˆ(a ˆua ˆHˆ  也是的本征态，本征值为，能也是的本征态，本征值为，能量下降了个量下降了个（（即称为个量子即称为个量子））所以所以nua ˆHˆ nE 量下降了量下降了一一个个（（即称为即称为一一个量子个量子））。

所以所以，，一个量子被消灭一个量子被消灭通常称为声子消灭算符通常称为声子消灭算符 a ˆ同样有同样有11ˆ也是也是的本征函数的本征函数相应本征值为相应本征值为nnnnnua ˆ )E(u)21a ˆa ˆ (a ˆua ˆ)21a ˆa ˆ (ua ˆHˆ   ua ˆHˆE也是也是的本征函数的本征函数，，相应本征值为相应本征值为，，即增加能量，所以，即增加能量，所以，被称为声子的产生被称为声子的产生nuaH nE a ˆ算符由于由于是二个平方项之和是二个平方项之和所以它的能量所以它的能量ˆ由于由于是二个平方项之和是二个平方项之和，，所以它的能量所以它的能量H本征值恒为正因此必存在能量最小的本征态本征值恒为正因此必存在能量最小的本征态0u0E0ua ˆ 0E这与为最低能量所对应的本征态的假设这与为最低能量所对应的本征态的假设相冲突相冲突，，因此因此0u相冲突相冲突，，因此因此0ua ˆ0由由000uEuHˆ1021u)a ˆa ˆ (    0u21 所以，最低能量为所以，最低能量为2 21任一激发态，在算符的连续作用下任一激发态，在算符的连续作用下，，2nua ˆ最终必须到态。

最终必须到态若若经经则则的本征值应为的本征值应为0uunuua ˆu若若经经，，则则的本征值应为的本征值应为nu0nuuanu  )n(1  )n(2，0n0nnu)a ˆ ()21n(u)a ˆ ()21a ˆa ˆ (uHˆ  也即也即所以所以，，00n)()2()()2(0n0n*u)a ˆ (nu)a ˆ (a ˆa ˆa ˆa ˆNˆ也即也即所以所以，，称为声子数算符称为声子数算符谐振子的能量本征值取谐振子的能量本征值取00)()(谐振子的能量本征值取谐振子的能量本征值取)1( )2n( 它的能级是等间距的它的能级是等间距的2) 能量本征函数能量本征函数(2) 能量本征函数能量本征函数由，由，0ua ˆ0而而)dd(21  ]x ˆmp ˆ)m( i [21a ˆ21x21于是有于是有d2 00uudd  其中，是无量纲量，其中，是无量纲量， x m由归一化由归一化2/02Aeu 1AdxeA21222  m 于是有41mA   21412/x212/410222eemu      u)a ˆ (n!nu)a (u0n221n2)d(1   2nne)d(!n2    而算符而算符2222edde)dd(   dd  22222ddd  22222edde ) 1)(dd()dd(       2222dd222222222eddeedde) 1(    222222ede) 1(2ede) 1( nndd2nn2n22edde) 1(dd所以，所以，22nn2n21nn222eede) 1()x(u nnnd)(!n2)(  212 xHe!n2n2n2  其中其中22edde) 1()x(Hnnnn    它是一多项式，最高幂次为它是一多项式，最高幂次为n，系数为；，系数为；d n2宇称为，被称为厄密多项式（宇称为，被称为厄密多项式（ HermitPolynomials ））n1Polynomials ））。

（（3）讨论和结论）讨论和结论当粒动谐振势当粒动谐振势中中其其221A. A. 当粒当粒子运子运动动于于谐振谐振子子势势中中，，其其能量取分立值能量取分立值22xm21 1能量取分立值能量取分立值 )21n( nnu)21n(uHˆ  )21a ˆa ˆ (Hˆ1]a ˆ , a ˆ [为一个声子所带的能量为一个声子所带的能量相应的归一化波函相应的归一化波函 数数（（ 而而））nu)a ˆ (1u0ua ˆ（（ 而而））0nu)a (! nu0ua0在坐标空间中在坐标空间中21xHe!n2)x(un221nn2    22edde) 1()x(Hnnnn    x   )m( 具体而言具体而言d 2x2122eu  具体而言具体而言0eu 21x2e2)x(u2x21122  ] 1)x(4[e8)x(u22x21222 B.显然是偶函数，显然是偶函数，而是而是变偶算符变偶算符0u)dd(21a ˆn改改变变奇奇偶偶性的性的算符算符，所以的宇称为，，所以的宇称为，即每条能级的宇称是确定的即每条能级的宇称是确定的。

)x(unn1即每条能级的宇称是确定的即每条能级的宇称是确定的C. 零点能与测不准关系零点能与测不准关系：当体系处于最低：当体系处于最低态态则则态态，，则则0202xx ˆp ˆ11Hˆ 对于任何实数对于任何实数A＋＋B＝＝C则有则有00xuxpm22H0 对于任何实数对于任何实数A＋＋B＝＝C，，则有则有ABC2 AB4于是有于是有4m2m22141x ˆp ˆ2220202x  4m24 22而而0200xxxx02x02xx0xpppp所以所以2px0x0但由测不准关系要求但由测不准关系要求2px0x0因而，只有因而，只有才不违背测不准关系才不违背测不准关系2px0x0才不违背测不准关系才不违背测不准关系这这表明表明，处，处于谐振子势中的粒子于谐振子势中的粒子，，最低能最低能量量表明表明于谐振子势中的粒子于谐振子势中的粒子最低能最低能不能小于这与经典不同，经典粒子可停在不能小于这与经典不同，经典粒子可停在原点原点能量为能量为0 21原点原点，，能量为能量为0。

D．．可以证明可以证明：：u 有有n个节点个节点（（它是第它是第n+1条条D．．可以证明可以证明：：un有有n个节点个节点（（它是第它是第n 1条条解级）解级）xHe)x(u2212   xHe! n2)x(unnn  这表明这表明，，在在和和能级能级 )21n(  )21n( 这表明这表明，，在在和和能级能级之间不可能有另外能级，所以解是完全的之间不可能有另外能级，所以解是完全的递推关系递推关系2)2(E. 递推关系递推关系：：我们将导出基本的递推关系我们将导出基本的递推关系我们将导出基本的递推关系我们将导出基本的递推关系1.0nnu)a ˆ (! n1a ˆua ˆ! n1nu1n2.1n01nnu)a ˆ (!1a ˆa ˆua ˆ! n1nun3.nnua ˆa ˆxunnm2  1nn1)u21nu2n(11n1n 4.nnua ˆa ˆ2mudxd 2dx)u1nun(11  )u2u2(1n1n §§3.9 相干态相干态（（1））湮灭算符湮灭算符的本征态的本征态ˆ（（1））湮灭算符湮灭算符的本征态的本征态acccVVa ˆ 令令cc  nncubV于是有于是有n  nncua ˆbVa ˆ于是有于是有 nnnc  nnunb1  nnnunb1    ubc     nnnubc。