直线与圆位置关系知识点与经典例题.doc

直线与圆位置关系一． 课标要求1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3. 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想二． 知识框架 相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理相切 直线与圆 代数法 求切线的方法 几何法 圆的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程 三． 直线与圆的位置关系及其判定方法1. 利用圆心的距离与半径的大小来判定1） 直线与圆相交（2） 直线与圆相切（3） 直线与圆相离2. 联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。

1） 有两个公共解（交点），即直线与圆相交（2） 有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即直线与圆相切（3） 无解（交点），即直线与圆相离3. 等价关系相交相切相离练习（位置关系）1.已知动直线和圆，试问为何值时，直线与圆相切、相离、相交？（位置关系）2.已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（）A. 相切 B.相交 C.相离 D.不确定（最值问题）3.已知实数、满足方程，（1） 求的最大值和最小值；（2） 求的最大值和最小值；（3） 求的最大值和最小值〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解转化为求斜率的最值；‚转化为求直线截距的最大值；ƒ转化为求与原点的距离的最值问题位置关系）4.设，若直线与圆相切，则的取值范围是（） （位置关系）5.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线 的距离为1，则实数的取值范围是 6．直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )A、 B、 C、 D、（位置关系）7．圆上的点到直线的距离最大值是（ ）A． B． C． D．（最值问题）8.设A为圆上一动点，则A到直线的最大距离为______.9．已知圆C的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为（ ）A． B． C． D． 10.若曲线与直线始终有两个交点，则的取值范围是__________.（对称问题）11.圆关于直线对称的圆的方程为:( ) A. B. C. D. 12. 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是( )A． B． C． D．13.圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4　(m∈R)．(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；(2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值．[解析]　(1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点，由得交点M(3,1)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒有两个交点．(2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．又|CM|＝＝，∴弦长为l＝2＝2＝4.四． 计算直线被圆所截得的弦长的方法1. 几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的计算，即2. 代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即（注：当直线斜率不存在时，请自行探索与总结； ‚弦中点坐标为，求解弦中点轨迹方程。

练习1. 直线被圆所截得的弦长等于（）2.过点的直线中被圆截得的弦长最大的直线方程是( )A. B. C. D. 3.已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线方程为（）4.直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为(　　)A. B. C．2 D.5.已知圆和直线（1)求证:不论取什么值,直线和圆总相交; (2)求取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.6.若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为(　　)A．1 B．－1 C. D．27.已知过点的直线与圆相交于两点，（1）若弦的长为，求直线的方程；（2）设弦的中点为，求动点的轨迹方程．解：（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，此时有，弦，所以不合题意．故设直线的方程为，即．将圆的方程写成标准式得，所以圆心，半径．圆心到直线的距离，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以，即，所以．所求直线的方程为．（2）设，圆心，连接，则．当且时，，又，则有，化简得．．．．．．（1）当或时，点的坐标为都是方程（1）的解，所以弦中点的轨迹方程为．8.已知圆和直线相交于两点,O为原点,且,求实数的取值.五． 已知切点，求切线方程1. 经过圆上一点的切线方程为2. 经过圆上一点的切线方程为3. 经过圆上一点的切线方程为练习1. 经过圆上一点作圆的切线方程为（）2.圆在点处的切线方程为（ ）A． B． C． D．六． 切点未知，过园外一点，求切线方程1. 不存在，验证是否成立；2. 存在，设点斜式，用圆到直线的距离，即 练习1. 求过且与圆相切的直线方程。

七． 切线长若圆，则过圆外一点的切线长练习1.自点 的切线，则切线长为（ B ）(A) (B) 3 (C) (D) 5 2.自直线y=x上点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为 八． 切点弦方程过圆外一点作圆的两条切线方程，切点分别为,则切点弦所在直线方程为：1．过点C(6，－8)作圆x2＋y2＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为(　　)A．15 B．1 C. D．5九． 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即 练习1. 自动点引圆的两条切线，直线的斜率分别为1） 若，求动点的轨迹方程；（2） 若点在直线上，且，求实数的取值范围〖解析〗（1）由题意设在园外，切线，由得点的轨迹方程为2） 在直线上，又，，即，将代入化简得又，又恒成立，。