2021年其他重要不等式【学生版】.docx

精品word学习资料可编辑自招竞赛秋季数学讲义其他重要不等式学问定位本章将介绍幂平均不等式，权方和不等式，琴生不等式，卡尔松不等式，杨氏不等式， 赫尔的不等式，闵可夫斯基不等式，钟开来不等式以及阿贝尔不等式的证明以及应用；学问梳理，例题精讲名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑一， 幂平均不等式幂平均不等式：设x1 , x2, , xnR ，且 ，有名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑x x x 11x x x名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑( 1 2n ) ( 1 2n ) ，等号当且仅当x1 x2 xn 时取到；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑n n注：调和平均值相当于 1 ，算术平均值相当于 1 ，均方根平均值相当于 2 ，x x x 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑几何平均值就就相当于【例 1】【题目来源】lim( 1 20 nn ) ，大小关系由幂平均不等式显而易见；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【题目】设 xiR (i1,2, , n) ，求证：名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑( x1 )nx0( x1 )nx2( xnxn1 )n( xn )nx0x0 x1 xnx1 x2 x0名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【学问点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】 3名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【例 2】【题目来源】【题目】对于 p1 ， q0 ， a1 a2an 0 ， 0 b1 b2bn 或名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑n( a )pbn a p i名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑0 a a a ， b b b0，证明i n1 p q i 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑1 2 n 1 2 nqi 1 ini( b )qi 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【学问点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】 3名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【例 3】【题目来源】第四届 CMOn n x 1 n名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【题目】 设 x1, x2, , xn 都是正数 (n2) ，且 xii 11，求证：i 1i1 xixin 1 i 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【学问点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】 4【例 4】【题目来源】 2021中国国家集训队测验题名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【题目】给定整数 n2 和正实数 a ，正实数x1, x2 ,xn 满意x1x2xn 1，求最小的实数名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑M M (n, a) ，使得n 1Mi 1 a s xi名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【学问点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】 5名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑二， 权方和不等式权方和不等式：设x1 , x2, , xn , y1, y2 , , yn R ，名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑n xm 1nm1( xi )名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑如 m 0 或 m1，就i i 1ym n m名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑i 1 i( yi )i 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑n xm 1nm1( xi )名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑如 1 m0 ，就i i 1ym n m名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【例 5】【题目来源】 28届 IMO预选题i 1 i( yi )i 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【题目】设a, b, c 是一三角形的三条边长，s 1 (a b c) 2，求证：名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑an bnc 2 nn( )2 ， n Z名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑b c c a a b 3【学问点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】 3名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑三， 琴生不等式琴生不等式：如连续函数f ( x) 在区间 I 内下凸（或上凸） ，就对任意x1, x2 , , xnI 及任名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑意 1 ,n2, , n R ，且 i i 11 ，就有名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑f (或 f (1 x1 2 x21x1 2 x2n xn )nxn)1 f ( x1)1 f (x1)2 f ( x2 )2 f (x2 )n f ( xn )n f (xn)名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑判定函数下凸（上凸）的方法：名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑（1） 设连续函数f ( x) 的定义域为 (a, b) ，假如对于 (a,b) 内任意两数x1, x2 都有名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑f ( x1x2 ) ( )2f ( x1)2f ( x2 )，就称f ( x) 为 ( a, b) 上的下（上）凸函数名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑（2） 当函数f (x) 二阶可导时，其凸性可依据二阶导数的符号来确定名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑即 f ( x) 0 f ( x) 在 D 上严格下凸名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑f ( x) 0f ( x)在 D 上严格上凸名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑注：下凸函数有时也被成为凸函数，上凸函数有时也被成为凹函数；【例 6】【题目来源】名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【题目】设x, y , z 是正实数，且x3xyz1 ，证明：y3z3 3名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑(1【学问点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】 4【例 7】【题目来源】 36届 IMOy)(1z) (1x)(1z) (1x)(1y) 4名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【题目】设a, b, c 为正实数，且abc1，求证：1 1 1 3名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑a3(b c) b3( a c) c3 (a b) 2【学问点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】 4名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【例 8】【题目来源】 21届 CMO【题目】实数列 { an } 满意： a112 ， ak 11ak ， k2 ak1,2, ,n ；证明不等式：名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑[ n 1]n( a1 a2an )n ( 11)( 11) ( 1 1)名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑2( a1 a2【证明】an )n a1 a2 an名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑【学问点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】 5四， 卡尔松不等式名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑卡尔松不等式： 设 aij0 (i1,2, , n,。