高考数学第十五章复数基础知识总结北师大版.pdf

用心爱心专心- 1 - 高中数学第十五章复数考试内容：复数的概念复数的加法和减法复数的乘法和除法数系的扩充考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想15. 复 数知识要点1. 复数的单位为i，它的平方等于1，即1i2. 复数及其相关概念：复数 形如 a + bi 的数（其中Rba，） ；实数 当 b = 0 时的复数a + bi，即 a；虚数 当0b时的复数a + bi；纯虚数 当 a = 0 且0b时的复数a + bi，即 bi. 复数 a + bi 的实部与虚部a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a，b 都是实数）复数集 C全体复数的集合，一般用字母C表示 . 两个复数相等的定义：00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，（其中，且. 两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：若21, zz为复数，则1若021zz，则21zz.（） 21, zz为复数，而不是实数 2若21zz，则021zz.（）若Ccba,， 则0)()()(222accbba是cba的必要不充分条件. （当22)(iba，0)( , 1)(22accb时，上式成立）用心爱心专心- 2 - 2. 复平面内的两点间距离公式：21zzd. 其中21zz ，是复平面内的两点21zz 和所对应的复数，21zzd和表示间的距离 . 由上可得：复平面内以0z为圆心， r 为半径的圆的复数方程：）（00rrzz. 曲线方程的复数形式：00zrzz表示以为圆心， r 为半径的圆的方程. 21zzzz表示线段21zz的垂直平分线的方程.212121202ZZzzaaazzzz，）表示以且（为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程 （若212zza，此方程表示线段21ZZ ，）.），（2121202zzaazzzz表示以21ZZ ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程 （若212zza，此方程表示两条射线）. 绝对值不等式：设21zz ，是不等于零的复数，则212121zzzzzz. 左边取等号的条件是），且（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.212121zzzzzz. 左边取等号的条件是），（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz. 注：nnnAAAAAAAAAA11433221. 3. 共轭复数的性质：zz2121zzzzazz2，i2bzz（ za + bi）22|zzzz2121zzzz2121zzzz2121zzzz（02z）nnzz)(注：两个共轭复数之差是纯虚数. （） 之差可能为零，此时两个复数是相等的 用心爱心专心- 3 - 4 复数的乘方：)(.Nnzzzzznn对任何z，21, zzC 及Nnm,有nnnnmnmnmnmzzzzzzzzz2121)( ,)( ,注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1, 142ii若由11)(212142ii就会得到11的错误结论 . 在实数集成立的2|xx. 当 x 为虚数时，2|xx，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. 常用的结论：1, 1, 143424142nnnni iiiiii)( , 0321Zniiiinnnniiiiiiii11,11,2)1(2若是1的立方虚数根，即i2321，则. 5. 复数 z 是实数及纯虚数的充要条件：zzRz. 若0z， z 是纯虚数0zz. 模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数 . 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：|zz. 6. 复数的三角形式：)sin(cosirz. 辐角主值：适合于 0 2的值，记作zarg. 注： z 为零时，zarg可取)2,0内任意值 . 辐角是多值的，都相差2的整数倍 . 设,Ra则23)arg(,2arg,)arg(, 0argaiaiaa. 复数的代数形式与三角形式的互化：)( 0,01 ,1,121223Znnnn用心爱心专心- 4 - )sin(cosirbia，22bar，rbrasin,cos. 几类三角式的标准形式：)sin()cos()sin(cosirir)sin()cos()sin(cosirir)sin()cos()sincos(irir)2sin()2cos()cos(sinirir7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02acbxax时，应注意下述问题：当Rcba,时，若 0，则有二不等实数根abx22,1；若=0，则有二相等实数根abx22,1；若 0，则有二相等复数根aibx2|2, 1（2, 1x为共轭复数）. 当cba,不全为实数时，不能用方程根的情况. 不论cba,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：)sin()cos()sin(cos)sin(cos212121222211irririr)sin()cos()sin(cos)sin(cos212121222211irririr棣莫弗定理：)sin(cos)sin(cosninrirnn。