高中数学古 希 腊 数 学2课件人教版选修三.ppt

古古 希希 腊腊 数数 学学公元前公元前600年年——600年年第二讲第二讲数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来说，在古希腊学者登场之前是不存在的说，在古希腊学者登场之前是不存在的 ---M---M·克莱克莱因因 柏拉图学派诡辩学派埃利亚学派欧多克斯学派亚里士多德学派毕达哥拉斯学派伊奥尼亚学派 古希腊数学（公元前古希腊数学（公元前6 6世纪至公元世纪至公元6 6世纪）世纪）特殊的地理位置与文化特殊的地理位置与文化. .社会制度社会制度一、古希腊数学的先行者一、古希腊数学的先行者——伊奥尼亚学派创始人古希腊最早的数学家、哲学家“希腊七贤”之首泰勒斯最先证明了如下的定理泰勒斯最先证明了如下的定理: :1.1.两直线相交，对顶角相等两直线相交，对顶角相等2.2.等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等。

3.3.圆被直径二等分圆被直径二等分 4.4.半圆上的圆周角是直角半圆上的圆周角是直角 --------泰勒斯定理泰勒斯定理5.5.两个三角形全等的边角边定理两个三角形全等的边角边定理从泰勒斯开始，命题证明成为从泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神希腊数学的基本精神泰勒斯泰勒斯• 公元前公元前551—前前479年年• 精于哲学、数学、天文精于哲学、数学、天文  学、音乐理论学、音乐理论二、毕达哥拉斯学派二、毕达哥拉斯学派1．毕达哥拉斯．毕达哥拉斯（（Pythagoras））• 希腊论证数学的另一位祖师希腊论证数学的另一位祖师• 毕达哥拉斯学派创始人毕达哥拉斯学派创始人• 信奉信奉“万物皆数万物皆数”费洛罗斯曾说费洛罗斯曾说: :““人们所知道的任何事物都包含数因此，如果没有数人们所知道的任何事物都包含数因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物就既不可能表达，也不可能理解任何事物2．勾股定理（毕达哥拉斯定理）．勾股定理（毕达哥拉斯定理）二、毕达哥拉斯学派二、毕达哥拉斯学派毕氏学派百牛大祭毕氏学派百牛大祭法法 国国——驴桥问题驴桥问题 中中 国国--------商高定理商高定理2002.8 国际数国际数学家大会会徽学家大会会徽1972年星际飞年星际飞船船“先锋先锋10号号”带着带着 “出入出入相补图相补图”飞向飞向太空太空欧几里得的证明原图赵爽的“弦图”二、毕达哥拉斯学派二、毕达哥拉斯学派3．多边形数．多边形数多边形数多边形数多面体数多面体数?应用之妙应用之妙精神之美精神之美案例1 从多边形数到棱锥数正方形数正方形数案例1 从多边形数到棱锥数•问题2（（2006广广东数学高考数学高考题））￿￿￿￿￿￿￿￿在德国不莱梅在德国不莱梅举行的第行的第48届世届世乒赛期期间，某商，某商场橱窗里用同橱窗里用同样的的乒乓球成若干堆球成若干堆““正三棱正三棱锥””形的展形的展品，其中第一堆只有一品，其中第一堆只有一层，就一个球，第，就一个球，第2、、3、、4 堆堆最底最底层（第一（第一层）分）分别按按图所示方式固定所示方式固定摆放，从第放，从第二二层开始，每开始，每层的小球自然的小球自然垒放在下一放在下一层之上，第之上，第￿ ￿n 堆第堆第￿ ￿n 层就放一个就放一个乒乓球，以球，以￿ ￿f(n) 表示第表示第￿ ￿n 堆的堆的乒乓球球总数，数，则￿ ￿f (3) =______，，￿ ￿f (n) =______。

￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿案例1 从多边形数到棱锥数•后期后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《《算算术引引论》》中将多中将多边形数推广到立体数前四个三棱形数推广到立体数前四个三棱锥数数为￿￿￿￿￿￿￿￿1 1+3 1+3+6 1+3+6+10 二、毕达哥拉斯学派二、毕达哥拉斯学派4．不可公度．不可公度万物皆数万物皆数可公度可公度第一次数学危机第一次数学危机不可公度不可公度希帕苏斯发现阿基米德证明毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派伊奥尼亚学派伊奥尼亚学派兴趣和实际应用兴趣和实际应用把数学当作思想把数学当作思想追求永恒的真理追求永恒的真理命题证明命题证明若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状                                                                          ——H．彭加勒．彭加勒无理数的发现无理数的发现──第一次数学危机第一次数学危机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。

大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论  第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击这表明，几何学的某些第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了危机也表明，来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，直觉和经验不一定靠得住，.并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！想上的一次巨大革命！             无穷小是零吗？无穷小是零吗？──第二次数学危机第二次数学危机      18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的贝克莱悖论他指出：大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的贝克莱悖论他指出：“牛顿在求牛顿在求xn的导数时，采取了先给的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（以增量０，应用二项式（x+0））n，从中减，从中减去去xn以求得增量，并除以０以求出以求得增量，并除以０以求出xn的增量与的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。

这里牛顿做了违反矛盾律的手续这样得出增量的最终比这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设先设x有增量，有增量，又令增量为零，也即假设又令增量为零，也即假设x没有增量没有增量他认为无穷小他认为无穷小dx既等于零又不等于零，既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，召之即来，挥之即去，这是荒谬，“dx为逝去量的灵魂为逝去量的灵魂”无穷小量究竟是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论导致了数学史上的第二次数学危机个半世纪的争论导致了数学史上的第二次数学危机 悖论的产生悖论的产生---第三次数学危机第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度这次危机是由于在康托的一般集合整体来看，还没有解决到令人满意的程度这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且理论的边缘发现悖论造成的由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

的整个基本结构的有效性的怀疑三 欧几里得与《原本》•欧几里德欧几里德( (约公元前约公元前300300年，古希腊数学家年，古希腊数学家) )是是古代希腊古代希腊最负盛最负盛名、最有影响的名、最有影响的数学家数学家之一，他是亚历山大里亚学之一，他是亚历山大里亚学派的成员编撰旷世巨著派的成员编撰旷世巨著 --------《《几何原本几何原本》》(Elements)(Elements)共有共有1313卷•这一著作对于几何学、数学和科学的这一著作对于几何学、数学和科学的•未来发展，对于西方人的整个思维未来发展，对于西方人的整个思维•方法都有极大的影响方法都有极大的影响《《几何原本几何原本》》•的主要对象是的主要对象是几何几何学，学，•建立了第一个数学理论体系建立了第一个数学理论体系——•几何学•标志着人类科学研究的公理化方法标志着人类科学研究的公理化方法•的初步形成的初步形成. .《《原本原本》》共十三卷，其中第一、三、四、六、共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我们今天熟知的平面几何十一和十二卷，是我们今天熟知的平面几何和立体几何的知识，其余各卷则是数论和和立体几何的知识，其余各卷则是数论和（用几何方法论证的）初等代数知识。

全书（用几何方法论证的）初等代数知识全书证明了证明了465个命题•公设：•（1） 从任一点到任一点作直线是可能的 •（2） 把有限直线不断循直线延长是可能的注意，这里所谓的直线，相当•于今天我们所说的线段•（3） 以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的•（4） 所有直角彼此相等•（5） 若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直•线无限延长后必相交于该侧的一点（现今称为平行公理）《《《《原本原本原本原本》》》》的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理(465(465个命题个命题个命题个命题) )使整个几何知识形成了一个演绎体系整个几何知识形成了一个演绎体系整个几何知识形成了一个演绎体系整个几何知识形成了一个演绎体系• 公理： • （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。

• （2） 等量加等量，总量仍相等• （3） 等量减等量，余量仍相等• （4） 彼此重合的东西是相等的• （5） 整体大于部分•从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系•存在着以下一些缺陷• 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上• 《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的•欧几里德的《原本》手稿失传•西方最早印刷教学书• ----1842年《原本》印刷于意大利威尼斯•《原本》在西方流传仅次于《圣经》•中国的传入• ----明末1606年徐光启，意大利传教士利玛窦共同翻译四四数学之神数学之神----阿基米德阿基米德             公元前公元前287年，阿基米德诞生于年，阿基米德诞生于西西里岛西西里岛的的叙拉古叙拉古(今意大利今意大利锡拉库萨锡拉库萨)他出生于贵族，与他出生于贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有阿基米德的父亲是阿基米德的父亲是天文学家天文学家兼数学家，学识渊兼数学家，学识渊博，为人谦逊。

他十一岁时，借助与王室的关博，为人谦逊他十一岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心系，被送到古希腊文化中心亚历山大亚历山大里亚城去里亚城去学习1.平衡法平衡法2.穷竭法穷竭法3.阿基米德螺线阿基米德螺线。