2220-2221学年高中数学-二元一次不等式-(1).doc

3.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3．3.1　二元一次不等式(组)与平面区域对点讲练一、二元一次不等式(组)表示的平面区域例1　画出下列不等式(组)表示的平面区域．(1)2x－y－6≥0；　(2)解　(1)如图1，先画出直线2x－y－6＝0，取原点O(0,0)代入2x－y－6中，因为20－10－6＝－6<0，所以在直线2x－y－6＝0左上方的所有点(x，y)都满足2x－y－6<0，故直线2x－y－6＝0右下方的区域就是2x－y－6>0，因此2x－y－6≥0表示直线右下方的区域(包含边界)；　　　图1　　　　　　　图2(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图2取原点O(0，0)，代入x－y＋5，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x－y＋5>0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．总结　不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界．►变式训练1　画出不等式组表示的区域．解　不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合；不等式2y≥x即x-2y≤0表示直线x-2y=0上及左上方点的集合；不等式3x+2y≥6，即3x+2y-6≥0表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合；不等式3y0表示直线x-3y+9=0右下方点的集合．综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．二、平面区域的面积问题例2　在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为(　　)A．2 B．1 C. D.解析 记 则即 作出可行域可知面积为1.答案　B►变式训练2　若A为不等式组表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为　　　　.答案　解析　如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．又D(0,1)，B(0,2)，E，C(2,0)．S四边形ODEC=S△OBCS△BDE=.三、平面区域内的整点个数问题例3　利用平面区域求不等式组的整数解．分析　先画出平面区域，再用代入法逐个验证．解　把x=3代入6x+7y≤50，得y≤4，又∵y≥2，∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；把x=4代入6x+7y≤50，得y≤，∴整点有：(4,2)(4,3)．把x=5代入6x+7y≤50，得y≤，∴整点有：(5,2)；把x=6代入6x+7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；把x=7代入6x+7y≤50，得y≤，与y≥2不符．∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．总结　求某个平面区域内的整点，一般采用代入验证法来求，要做到不漏掉任何一个整点．►变式训练3　画出2x-30的点(x，y)所在的区域为(　　)答案　B解析　不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组(Ⅰ)或不等式组(Ⅱ)分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.3．不等式组表示的平面区域内整点的个数是(　　)A．2个 B．4个 C．6个 D．8个答案　C解析　画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．4．若平面区域D的点(x，y)满足不等式组，则平面区域D的面积是(　　)A.＋ B．1＋ C.＋ D．1＋答案　B解析　画出平面区域，如图，阴影部分面积S=1+.5．(2009天津滨海新区五所重点学校联考)在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为(　　)A．3＋2 B．－3＋2 C．－5 D．1答案　D解析　区域如图，易求得A(2,2)，B(a，a+4)，C(a，a)．S△ABC=1/2|BC||a+2|=(a+2)2=9，得a=1.二、填空题6．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．答案　解析　如图直线AB的方程为x+2y1=0(可用两点式或点斜式写出)直线AC的方程为2x+y5=0直线BC的方程为xy+2=0把(0,0)代入2x+y5=5<0∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.∴同理可得△ABC区域(含边界)为.7．不等式组所表示的平面区域的面积等于________．答案　解析　平面区域如图．解 得 易得8．已知点A(5，5)，过点A的直线l：x＝my＋n (n>0)，若可行域的外接圆的直径为20，则实数n＝________.答案　10解析　可行域如图所示，设直线l：x=my+n的倾斜角为α，则又点 在直线 上时，又n>0, 不合题意，舍去，当时，三、解答题9．画出不等式组所表示的平面区域并求其面积．解　如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域．由 得,同理得 而点B 到直线距离为10．画出不等式组表示的平面区域，并求其中的整数解(x，y)．解　作出平面区域，如图所示．可求得顶点坐标故的范围是<，<，其中整数是 结合图形并经检验可得整数解有(0,0)，(0， 1)，(1,0)，(1， 1)，(2， 2)．。