《固体物理学答案》第一章晶体的结构.docx

《固体物理学答案》第一章晶体的结构第一章、晶体的结构1.以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：(1)间乂方,,、3⑵体心立万，至(3)面心立方，工2；6(4)六角密积，看;(5)金刚石结构，—；16［解答］设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度43n-r_3(1)V对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原1, 2,因为子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在3,4处的原子球将依次相切，,3a4r,Va3,面1.2简立方晶胞晶胞内包含1个原子，所以.6)3=3a(2)对体心立方晶体，任一个原子有最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，3a))3因为晶胞空间对角线的长度为.3a4r,Va a,晶胞内包含2个原子，所以2Y（3a图1.3体心立方晶胞(3)对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为72a4r,Va3,1个晶胞内包含4个原子，所以4*9（年）3图1.4面心立方晶胞(4)对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。

5所示，中心在1的原子与中心在2,3,4的原子相切，中心在5的原子与中心在6,7,8的原子相切，图1.5六角晶胞图1.6正四面体晶胞内的原子与中心在1,3,4,5,7,8处的原子相切，即点与中心在5,7,8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高h=Vla2后r|cJ3c晶胞体积V=casin60——ca,2一个晶胞内包含两个原子，所以2*1照)3、巧P=32-T.—ca6(5)对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1,2,3,4处的原子相切，因为0a8r,晶胞体积Va3,图1.7金刚石结构一个晶胞内包含8个原子，所以2 .在立方晶胞中，画出（102）,（021）（122）,和（210）晶面［解答］图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面3 .如图1.9所小，在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为电,a2,巴,在C轴上的截距为hkmcl证明：hkm求出O,AA3,A1A3B3B1,A2B2B5A5和A1A3A四个面的面指数图1.9六角晶胞对称画法［解答］设d是晶面族（hkml）的面间距，n是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm）中最靠近原点的晶面在a〔a2a3，c轴上的截距分别为a1/h,a2/k,a3/m,c/l所以有a1?n=hd,a2?n=kd,a3?n=md.因为a3(a2a3),所以a3?n(a2a3)?n。

由上式得到md=(hdkd).即m(hk),由图可得到：O'A〔A3晶面的面指数为(1121)AA3B3B1面的面指数为(1120)A2B2B5A5晶面的面指数为（1100）AiA3A5晶面的面指数为（0001）4.设某一晶面族的面间距为d,三个基矢ai,a2,a3的末端分别落在离原点的距离为h1d,h2d,h3d的晶面上，试用反证法证明：hi,h2,h3是互质的［解答］设该晶面族的单位法量为a1,a2,a3由已知条件可得ai?nhid,a??nh?d,a3nh3d,假定hi,h2,h3不是互质数，且公约数p1即hipkihpkzhpk3ki,k2,k3是互质的整数,则有ai?npkid,a2?npk2d,a3?npk3d今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为rliai12a213a3,由于心定是整数，而且r?ndliai?n12a2?n13a3?n于是得到pkilipk212pk313i由上式可得iki1i卜212卜313一P上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的矛盾的产生是P为不等于i的整数的假定也就是说，P只能等于i,即％由2由3一定是互质数5.证明在立方晶体中，晶列［hk1］与晶面(hkl)正交，并求晶面(hkli)与晶面(h2k2I2)的夹角。

［解答］设d是为晶面族(hkl)的面间距，n为法向单位矢量，根据晶面族的定义，品面族(hkl)将a,b,c分别截为h,k,l等份，即a?n=acos(a,n)=hd,b?n=bcos(b,n)=kd,c?n=ccos(c,n)=ld于是有.d..ddn=h—i+k—j+1-kaaad=d(hi+kj+lk)a其中,i,j,k分别为平行于a,b,c三个坐标轴的单位矢量，而晶列［hkl］的方向矢量为R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)由(1),(2)两式得d.n=Ra即n与R平行,因此晶列［hkl］与晶面(hkl)正交对于立方晶系，晶面(h1k1l1)与晶面(h2k2l2)的夹角，就是晶列R1=h1a+k1b+l1c与晶列R2=h2a+k2b+12c的夹角，设晶面(儿左)与晶面(h2k2)的夹角为由R1笊2=R1IR2coshh12k12l2\：h；k；12a2cos,12,,2,,2=%h2ak1k2a1112ah1h2 k1k2 l1l21 rcos { 2 2 2/(% k1 1i )(h2 . 22 k2l2}126.如图1.10所示，B,C两点是面心立方晶(1)⑵胞上的两面心。

求ABC面的密勒指数；求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的图1.10面心立方晶胞BA=OAOB(aBCOCOB[c1b)2(b12(ab)](1)矢量BA与矢量BC的叉乘即是ABC面的法矢、1,、c)2(2abc),112(bc)2(ac),11aBABC-(2abc)-(ac)a(a3bc).因为对立方品系，晶列［hkl］与晶面族（hkl)正交，所以ABC面的密勒指数为(131).2八“八1ACOCOA[c-(ab)](ab)3ab2c).可见AC与晶列（a+b-2c）平行，因此AC晶列的晶列指数为［112］.《固体物理教程》（1?3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系a〔a2a3,a〔a2a3,ca1a2a3晶列(a+b-2c)可化为(a+b-2c)=-2(&a?2a3)由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为[112]7.试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方[解答]设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取为ai-(jk),a21(kj),2aa3二(ij).2由倒格矢公式2[a2a3]2[a3ai]2[aia2]bi,b2,b3,可得其倒格矢为bi2-(ijk),a2b2—(ijk),ab3-(ijk).a设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,j,k，体心立方正格子的原胞基矢可取为ai-(ijk),2aa2二(ijk),2aa3-(ijk).2以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子，这说明面心立方的倒格子是体心立方。

将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式bi2[a2a3],也2[a3ai],,b32[aia2]则得其倒格子基矢为b12r(ik)，b22a(ki)，b3j).可见体心立方的倒格子是面心立方8.六角晶胞的基矢abCa.ai2j，3a.一ai-J,22ck求其倒格基矢[解答]晶胞体积为a[bc]/•3a3ta(一aiJ)[(一aiJ)2 2223 2——ac.(ck)]其倒格矢为2[bc]3 .——ai25)(ck)]2,3a2c2 [(j).2[ca]3a2[(ck)(Tai2j)]，3a2c、3”.[ab]2 吟 ai 2 j)(以c9.证明以下结构晶面族的面间距:(1) 立方晶系：dhkl a[h2(2) 正交晶系：dhki [(-)2a3_. a、 2Tai 2j)] ..3a2ck2 l2]\(32 (：)2「2(3)(4)..2 . 2 .. .六角品系：~卜卜1 [-( 2 ) (一)2]3 a2 c简 单 单余^：dhki2 21 h2 l2 2h1 cos. 2- (二 二sin a c ac[解答](1)设沿立方晶系轴a,b,c的单位矢量分别为i,j,k,则正格 子基矢为a ai,b bj ,c ak,图1.11立方晶胞倒格子晶矢为2.K2.a——i,b——j,caa与晶面族(hkl)正交的倒格为Khklhakbic.由晶面间距dhki与倒格矢Khki的关系式dhkl行，dhkl2Khkl|a工厂k2―l2(2)对于正交晶系，晶胞基矢a,b,c相互垂直，但品格常数abc.设沿晶轴a,b,c的单位矢量分别为i,j,k则正格子基矢为aai,bbj,cck,图1.12正交晶胞倒倒格子基矢为2.,2.a——i,b—j,cab与晶面族(hkl)正交的倒格为Khklhakbic.由晶面间距dhkl与倒格矢Khkl的关系式dhklKhkldhkl[(h)2a2l212(-)2]2c对于六角晶系，ab90,120,晶面族（hkl）的面间距晶胞dhkl2_Khklhakblc图1.13六角yhkkblc也即1dhkl2 2[h ak2bl2c22hk(a b ) 2kl(b c2hl(a c )].由图1.13可得六角晶胞的体积2 .c a(a b) a csin2a csin 120■. 3 2-a c.2倒格基矢的模2acsin32a2c_2.asin32a2c倒格基矢的点积c[abc]}2一coscoscos。