(详细解析)1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理).doc

1994年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（15）题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集，集合，集合，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以．2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是A． B． C． D．（【答案】D【解析】化为，则且，所以．3．极坐标方程所表示的曲线是A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆【答案】D【解析】，即．4．设是第二象限的角，则必有A． B．C． D．【答案】A【解析】，，所以．5．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个【答案】B【解析】．6．在下列函数中，以为周期的函数是A． B．C． D．【答案】D【解析】A、B、C中函数周期均为；而，周期为．7．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为A． B． C． D．【答案】B【解析】上下底面的面积分别为．8．设和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】由题设则，可得，面积为．9．如果复数满足，那么的最小值是A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】本题考查复数的几何意义．满足的复数对应的点表示以点以及为端点的线段，表示该线段上的点到点的距离，从而知距离的最小值为1．10．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有A．1260种 B．2025种 C．2520种 D．5040种【答案】C【解析】按分步计数原理考虑：第一步安排甲任务有种方法，第二步安排乙任务有种方法，第三步安排丙任务有种方法，所以总共有种．11．对于直线和平面，的一个充分条件是A． B．C． D．【答案】C【解析】略．12．设函数，则函数的图像是 【答案】B【解析】当时，，所以易知，．13．已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面面积是A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，设球的半径为，是的外心，外接圆半径为，则面．在中，，则，所以，则，所以球面面积为．14．函数的值域是A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，因余弦函数在上递减，所以值域是．15．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，如果，那么A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意．，．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二、填空题 （本大题共5小题，共6个空格；每空格4分，共24分．把答案填在题中横线上） 16．在的展开式中，的系数是 ．（用数字作答）【答案】【解析】，的系数是．17．抛物线的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 ．【答案】【解析】原方程化为，其顶点为，准线方程是；圆的方程是．18．已知，则的值是 ．【答案】【解析】，则，从而得解得，故．19．设圆锥底面圆周上两点间的距离为2，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为 ．【答案】【解析】根据题意可得圆锥的底面半径和高均为，则圆锥的体积为．20．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，共个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其他近似值比较，与各数据的差的平方和最小．依此规定，从推出的 ．【答案】【解析】本题考查构建二次函数求最值．由已知即求的最小值，上式化简为，当时，取最小值．三、解答题（本大题共5小题，共61分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）21．（本小题满分11分）已知．（Ⅰ）设，求的三角形式；（Ⅱ）如果，求实数的值．【解】本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力．（Ⅰ）由，有，的三角形式是．（Ⅱ）由，有．由题设条件知．根据复数相等的定义，得解得22．（本小题满分12分）已知函数．若，且，证明．【证明】本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力． ．∵，，∴，且，从而有，由此得，∴，即．23．（本小题满分12分）如图，已知是正三棱柱，是中点．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）假设，求以为棱，与为面的二面角的度数．【解】本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力．（Ⅰ）证明：∵是正三棱柱，∴四边形是矩形．连结交于，则．连结．在中，∵，∴．又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）作，垂足为，则面，连结，则是在平面上的射影．∵，由（Ⅰ）知，∴，则，∴是二面角的平面角．设，则．∵是正三角形，∴在中，．取中点．∵，∴．在中，，又，∴，即．∴．∴．故二面角为．24．（本小题满分12分）已知直线过坐标原点，抛物线顶点在原点，焦点在轴正半轴上．若点和点关于的对称点都在上，求直线和抛物线的方程．【解】本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．解法一：依题设抛物线的方程可写为，且轴和轴不是所求直线，又过原点，因而可设的方程为）． ①设分别是关于的对称点，因而，直线方程为 ②由①、②联立解得与的交点的坐标为．又为的中点，从而点的坐标为． ③同理得点的坐标为． ④又均在抛物线上，由③得，由此知，即． ⑤同理由④得．即．从而=，整理得．解得．但当时，由③知，这与A'在抛物线上矛盾，故舍去．设，则直线的方程为．将代入⑤，求得．所以直线方程为．抛物线方程为．解法二：设点关于的对称点分别为，则．设由轴正向到'的转角为，则． ①因为为关于直线的对称点，而为直角，故为直角，因此， ②由题意知，故为第一象限角．因为都在抛物线上，将①、②代入得．∴，∴，解得．将代入得，∴抛物线C的方程为．因为直线平分，故的斜率．∴直线的方程为．25．（本小题满分14分）设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项．（Ⅰ）写出数列的前3项；（Ⅱ）求数列的通项公式（写出推证过程）；（Ⅲ）令，求．【解】本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力．（Ⅰ）由题意，当时有，，∴，解得．当时有，，将代入，整理得．由，解得．当时有，，将代入，整理得．由，解得．故该数列的前3项为．（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）猜想数列有通项公式．下面用数学归纳法证明数列的通项公式是．①当时，因为，又在（Ⅰ）中已求出，所以上述结论成立．②假设时结论成立，即有．由题意，有，将代入上式，得，解得．由题意，有，，将代入，得，整理得．由，解得．所以．这就是说，当时，上述结论成立．根据①、②，上述结论对所有的自然数成立．解法二：由题意，有，整理得，由此得，∴，整理得，由题意知，∴．即数列为等差数列，其中，公差．∴，即通项公式为．（Ⅲ）令，则，．∴．14。