积分的变换原理.doc

§ 54 定积分得换元法一、换元公式【定理】若1、 函数在上连续；2、 函数在区间上单值且具有连续导数；3、 当在上变化时，得值在上变化，且则有(1)证明：(1)式中得被积函数在其积分区间上均就是连续，故(1)式两端得定 积分存在且(1)式两端得被积函数得原函数均就是存在得、假设就是在上得一个原函数，据牛顿-莱布尼兹公式有另一方面，函数得导数为这表明：函数就是在上得一个原函数，故有：从而有对这一定理给出几点注解：1、用替换，将原来变量代换成新变量后，原定积分得限应同时换成新变量得限、求出得原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量得函数，只 需将新变量得上下限代入中然后相减即可2、 应注意代换得条件,避免出错1)、在单值且连续；⑵、仅◎)=© 邮、二b且仅广疋陆可，^te［a.p\或［0卫］3、 对于时，换元公式(1)仍然成立、【例1】求【解法一】令当时，；当时，又当 时，有且变换函数在上单值，在上连续，由换元公式有【解法二】令当时，； 当时，O又当时，，且变换函数在上单值，在上连续，由换元公式有=2[-ln(l-0-f]Zi = 2(—1仍+ 2+ ln 2 — 1)=2(1 - In 3 + In 2)注意:在【解法二】中，经过换元，定积分得下限较上限大。

换元公式也可以反过来，即H［卩（Q］卩（Q衣令f 二卩（兀）（a=卩（◎）"=卩（0）） « ■ p（«） *【例2】求解:设,当时，；当 时，一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定 积分得上下限2 5 2 c 1 6 2 1J cos xsin xdx= - J cos xd（cos = COS X =—0 0 L 6 丄 6二、常用得变量替换技术与几个常用得结论【例3】证明1、 若在上连续且为偶函数，则2、 若在上连续且为奇函数，则证明:由定积分对区间得可加性有对作替换 得称与 对数 在函 义偶 定的 算上 计Q 化』. 简卜分 来间枳 用区定 可的的 论点数 结原函 该于奇1.0 0 a a-a故有a00若为偶函数，则若为奇函数，则02.求”G宓所用的替换x = -t虽然简单但却常用.-a【例4】若在上连续，证明:1、 2、并由此式计算定积分■证明：设2 兀 2 2J/(sinx)c& = J /[sin( = f /*(cos^ )c/Z = J/(cos^)c&0 f 2 0 0 2、证明：设,zr 0 刀Jx・ /(sinx)dx = - r)/[sin(zr- r)](-A) = J(tt- t)/(sint)^t0 n 07i 乳 n n=(sint)dt - \tf(sint)dt = zrf /(sinx)dx - Jxf(sinx)dx0 0 0 05 rsinx ? 兀作 sinx ? cf(cosr) 开「 工 / 、/h—— 敢=yJ—— 故= -yIr' 2 - = -y0临(co汰)] 01+ cos r 2 ol+ cos r 十 cos x 2 u2= -fl^g(-i)-沁(i)] = -f[-^-J = Y这两个结论，至少可以给我们如下眉示二（即求原函数■代上TR）1 •计算定积分不是仅有牛顿_菜布尼兹咎式2.可以利用变量替换的方祛去求定积分;或者利用变量替换去简化定积分的计當【例5】求人