06单相合金凝固.ppt

第四章 单相合金的凝固第一节 凝固过程的溶质再分配第二节 金属凝固过程中的”成分过冷”第三节 界面的稳定性与晶体形态第四节 胞晶组织与树枝晶第五节 微观偏析第六节 固液界面非线性动力学理论1 1 第一节 凝固过程的溶质再分配1 1 液相中完全混合的溶质再分配液相中完全混合的溶质再分配 考虑溶质元素的反扩散，非平衡凝固时固液界面溶质考虑溶质元素的反扩散，非平衡凝固时固液界面溶质浓度与固相分量的关系，如图所示由质量守恒可知：浓度与固相分量的关系，如图所示由质量守恒可知：固相内溶质反扩散的边界层厚度：固相内溶质反扩散的边界层厚度：左侧第一项为面积左侧第一项为面积A A1 1，凝固出，凝固出LdfLdfs s合金排出溶质量；右侧第一合金排出溶质量；右侧第一项为面积项为面积A A2 2，液相内溶质的增量；，液相内溶质的增量；第二项为面积第二项为面积A A3 3，，固相溶质反扩散固相溶质反扩散的增量2 2设凝固厚度与凝固时间具有平方根原理的关系，凝固速度可表示设凝固厚度与凝固时间具有平方根原理的关系，凝固速度可表示为：为：得固相扩散、液相完全混合的溶质分布方程：得固相扩散、液相完全混合的溶质分布方程：无量纲的扩散因子可表示为：无量纲的扩散因子可表示为：当当 即固相中无扩散时，上式变为：即固相中无扩散时，上式变为：当当 即平衡凝固的溶质分布表达式为：即平衡凝固的溶质分布表达式为：3 32 2 液相中有对流作用的溶质分配液相中有对流作用的溶质分配实际生产中液相中的完全混合是较少遇到的，所以在实际生产中液相中的完全混合是较少遇到的，所以在固液界面会存在一个扩散层，在扩散层以外的液相成固液界面会存在一个扩散层，在扩散层以外的液相成分因有对流而保持一致。

液相中有对流时的溶质分布分因有对流而保持一致液相中有对流时的溶质分布如右图忽略固相的溶质扩散，由溶质质量守恒：如右图忽略固相的溶质扩散，由溶质质量守恒：其边界条件如右图所示：其边界条件如右图所示：4 4解方程得：解方程得：代入边界条件可得：代入边界条件可得：整理后得：整理后得： 4-124-12若液体容积有限，则若液体容积有限，则C C0 0是逐步提高的，这样：是逐步提高的，这样：在液相中在液相中没有对流只有扩散没有对流只有扩散的情况下，上式中的情况下，上式中此时，上式即变为稳定态时溶质分布方程：此时，上式即变为稳定态时溶质分布方程：5 5另外，当达到稳定态时：另外，当达到稳定态时： 4-134-13对式对式4-124-12中的中的C CL L求导可得：求导可得： 4-144-14将式将式4-134-13代入式代入式 4-144-14并运用并运用 的关系可得：的关系可得： 4-174-17此即溶质有效分配系数的表达式，它将凝固中的溶质分此即溶质有效分配系数的表达式，它将凝固中的溶质分布与晶体的生长条件联系起来。

可以看出，搅拌对流愈布与晶体的生长条件联系起来可以看出，搅拌对流愈强时，扩散层愈小，故强时，扩散层愈小，故 愈小；生长速度越大时，愈小；生长速度越大时， 愈愈向向 趋近6 63 3 液相中只有扩散的溶质再分配液相中只有扩散的溶质再分配单相凝固液相中没有对流只有单相凝固液相中没有对流只有扩散时不同凝固阶段的溶质分扩散时不同凝固阶段的溶质分布如右图所示布如右图所示: :由于质量守恒，对于由于质量守恒，对于 的的合金来说，最初过渡区溶质的合金来说，最初过渡区溶质的贫乏总量等于最终过渡区溶质贫乏总量等于最终过渡区溶质的过剩总量即右图中Ａ的过剩总量即右图中Ａ１１＝Ａ＝Ａ２２，由图，由图b b可知，固相浓度增加可知，固相浓度增加的趋势随固相中溶质贫乏的程的趋势随固相中溶质贫乏的程度的减轻而变小，即：度的减轻而变小，即：边界条件：边界条件：7 7解此方程得最初过渡区内溶质分布表达式：解此方程得最初过渡区内溶质分布表达式：从上式可以粗略地估计出最初过渡区的长度为从上式可以粗略地估计出最初过渡区的长度为 ，由此看来，最初过渡区的长度随着长大速度，由此看来，最初过渡区的长度随着长大速度v v的增大的增大而减小，同时，合金的而减小，同时，合金的k k0 0值越小，该过渡区距离愈长值越小，该过渡区距离愈长。

讨论前面所求的稳定态区内溶质分布表达式：讨论前面所求的稳定态区内溶质分布表达式：8 8由上式可以看出稳定态时液相时溶质成分由上式可以看出稳定态时液相时溶质成分C CL L受晶体长受晶体长大速度的影响，因此，它同时也会对固相成分发生影响大速度的影响，因此，它同时也会对固相成分发生影响如下图所示：如下图所示：以上变化说明，在稳定状态下，凝固速度的减小，将会以上变化说明，在稳定状态下，凝固速度的减小，将会使固相局部地区溶质贫乏；而凝固速度的增大，将使固使固相局部地区溶质贫乏；而凝固速度的增大，将使固相局部地区的溶质富集相局部地区的溶质富集9 9 第二节 金属凝固过程中的成分过冷1 1 成分过冷的判别式成分过冷的判别式当单相凝固平界面生长达到稳定当单相凝固平界面生长达到稳定后，对于后，对于 的合金来说，在的合金来说，在固液界面前沿的液相内将形成稳固液界面前沿的液相内将形成稳定的溶质富集层，该当量边界层定的溶质富集层，该当量边界层的厚度的厚度 与界面推进速度成反比与界面推进速度成反比，即，即 可以将溶可以将溶质质富集富集层转变层转变成成“ “液相液相线线温度温度边边界界层层” ”，如，如图图4-134-13所示，所示，图图中所表示的固液界面前沿液相内的溶中所表示的固液界面前沿液相内的溶质浓质浓度随距固液界面的距度随距固液界面的距离的增加而减小；与此相离的增加而减小；与此相对应对应，液相，液相线线的温度的温度T TL L则则由低由低变变高，当高，当液相液相线线温度温度T TL L的分布曲的分布曲线线高于液相内的高于液相内的实际实际温度温度TqTq分布分布线时线时，就，就会在固液界面的前沿液相中形成会在固液界面的前沿液相中形成“ “成分成分过过冷冷” ”区区。

1010成分过冷判别式的推导：成分过冷判别式的推导：设液相线的斜率为设液相线的斜率为mmL L，则液，则液相熔点温度分布梯度可表示相熔点温度分布梯度可表示为：为：在平界面凝固条件下，界面在平界面凝固条件下，界面处液体内实际温度梯度应大于处液体内实际温度梯度应大于等于液相熔点温度分布的梯度等于液相熔点温度分布的梯度即：即：最终可整理得：最终可整理得：此即成分过冷判别式的通用式．此即成分过冷判别式的通用式．1111没有对流只有扩散的情况下，　　　上式变为：没有对流只有扩散的情况下，　　　上式变为：或：或：２成分过冷的过冷度２成分过冷的过冷度成分过冷的过冷度可表示为：成分过冷的过冷度可表示为：其中：其中：可得成分过冷的过冷度为：可得成分过冷的过冷度为：1212 第三节 界面稳定性与晶体形态 界面上出现的任何周期性的干扰行为都可以考虑为所有可能波长的正弦干扰，界面的稳定性取决于正弦波的振幅随时间的变化率，如果振幅随时间而增大，则界面不稳定；相反，如果 振幅随时间而减小，则界面稳定 界面出现的干扰如何影响界面的稳定性：①干扰影响了邻近的热量和溶质的扩散②几何干扰又会通过界面能来影响界面的稳定性。

1313把固液界面放在三维坐标系上，设把固液界面放在三维坐标系上，设z z指向液相而垂直于固液界面指向液相而垂直于固液界面未受干扰的情况下，在运动着的坐标系中其界面方程为未受干扰的情况下，在运动着的坐标系中其界面方程为z=0z=0；在；在遭到正弦式几何干扰后，界面方程为：遭到正弦式几何干扰后，界面方程为：其中其中 为振动频率设为振动频率设 ，则振幅随时间的变化率为：，则振幅随时间的变化率为：计算计算 的数值十分复杂，只给出结果：的数值十分复杂，只给出结果：固液界面的稳定性取决于固液界面的稳定性取决于 的符号，如果符号为正，意味着波动的符号，如果符号为正，意味着波动增长，界面是不稳定的反之，如果符号为负，意味着波动衰减增长，界面是不稳定的反之，如果符号为负，意味着波动衰减，界面是稳定的界面是稳定的1414上式中分母在任何时候都是正的，所以表达式的正负只取决于上式中分母在任何时候都是正的，所以表达式的正负只取决于分子的符号，对分子进行因式分解并消去分子的符号，对分子进行因式分解并消去 这这一符号始终为正的项去掉，从而得出界面稳定性动力学理论的一符号始终为正的项去掉，从而得出界面稳定性动力学理论的判别式为：判别式为：函数函数 的正负决定着干扰振幅是增长还是衰减，从而决定着的正负决定着干扰振幅是增长还是衰减，从而决定着固液界面的稳定性。

固液界面的稳定性1515 2 2 界面稳定性动力学理论和界面稳定性动力学理论和“ “成分过冷成分过冷” ” 函数函数s(w)s(w)由三项组成，第一项是由界面能决定的，界面能不可由三项组成，第一项是由界面能决定的，界面能不可能为负，这一项始终为负；第二项是由温度梯度决定的，若温能为负，这一项始终为负；第二项是由温度梯度决定的，若温度梯度为正，界面稳定，若温度梯度为负，界面不稳定；第三度梯度为正，界面稳定，若温度梯度为负，界面不稳定；第三项恒为正，表明该项总始界面不稳定，该项项恒为正，表明该项总始界面不稳定，该项 表明固液界面表明固液界面前沿由于溶质富集（或贫乏）出现了溶质浓度梯度，正如前沿由于溶质富集（或贫乏）出现了溶质浓度梯度，正如“ “成成分过冷分过冷” ”准则表明的一样将始界面不稳定，后者表明溶质沿界准则表明的一样将始界面不稳定，后者表明溶质沿界面扩散对界面稳定性具有影响面扩散对界面稳定性具有影响在不考虑溶质沿固液界面扩散及界面能的影响时，产生界面稳在不考虑溶质沿固液界面扩散及界面能的影响时，产生界面稳定性的条件是：定性的条件是：整理可得：整理可得：如果固相和液相的温度梯度相等，导热系数相等，上式将完全如果固相和液相的温度梯度相等，导热系数相等，上式将完全变成变成“ “成分过冷成分过冷” ”的判别式。

的判别式1616可以说可以说“ “成分过冷成分过冷” ”理论是界面稳定性动力学理论的特殊形式理论是界面稳定性动力学理论的特殊形式将将 式左边进一步加以处理可得：式左边进一步加以处理可得：图图4-144-14描绘了成分过冷理论，界面稳定性理论及不考虑溶质沿固描绘了成分过冷理论，界面稳定性理论及不考虑溶质沿固液界面扩散及界面能的影响时界面稳定性理论的不同情况液界面扩散及界面能的影响时界面稳定性理论的不同情况可以看出，严格的动力学理论与可以看出，严格的动力学理论与“ “成分过冷成分过冷” ”理论相比扩大了平界理论相比扩大了平界面的稳定区，这是由于它考虑了面的稳定区，这是由于它考虑了界面能、结晶潜热及溶质沿固液界面能、结晶潜热及溶质沿固液界面扩散的影响，所有这些对平界面扩散的影响，所有这些对平面的稳定都做了贡献面的稳定都做了贡献17173 3 固液界面的形貌稳定性固液界面的形貌稳定性 凝固过程必须伴有传热及传质，有传热就有过冷，有传质凝固过程必须伴有传热及传质，有传热就有过冷，有传质就会在晶体生长前沿有溶质的富集或贫乏，因此凝固通常总是就会在晶体生长前沿有溶质的富集或贫乏，因此凝固通常总是在非平衡条件下进行的。

在非平衡条件下进行的 纯金属的晶体长大纯金属的晶体长大主要与传热有关，如图主要与传热有关，如图4-164-16，其凝固方，其凝固方式有单向凝固与等轴凝固两种情况式有单向凝固与等轴凝固两种情况 纯金属在单向凝固条件纯金属在单向凝固条件下，其固液界面形貌为稳定下，其固液界面形貌为稳定的平界面；在等轴凝固情况的平界面；在等轴凝固情况下界面是不稳定的，结晶形下界面是不稳定的，结晶形貌为枝晶形式貌为枝晶形式1818 合金的晶体长大除了受传热的影响外，更主要的是受传质的合金的晶体长大除了受传热的影响外，更主要的是受传质的影响对于影响对于k k0 0<1<1的合金，晶体生长达到稳定态之后，在晶体前的合金，晶体生长达到稳定态之后，在晶体前沿的液相内将形成稳定的溶质富集层，该区内的液相是稳定的沿的液相内将形成稳定的溶质富集层，该区内的液相是稳定的从而就存在着使固液界面扰动得以发展的驱动力从而就存在着使固液界面扰动得以发展的驱动力 图图4-174-17显示了合金单相凝固时显示了合金单相凝固时的两种情况的两种情况a a为液相内的实际温度为液相内的实际温度梯度梯度TqTq大于液相线温度梯度大于液相线温度梯度TLTL，不，不出现出现“ “成分过冷成分过冷” ”区，晶体按平界面向区，晶体按平界面向前推进。

前推进B B为液相内的实际温度梯度为液相内的实际温度梯度小于液相线温度梯度，出现了小于液相线温度梯度，出现了“ “成分成分过冷过冷” ”工，平界面遭到破坏，形成胞工，平界面遭到破坏，形成胞状晶或树枝晶状晶或树枝晶1919 第四节 胞晶组织与树枝晶1 1 胞晶与树枝晶的形成胞晶与树枝晶的形成①①胞晶组织的形成胞晶组织的形成②②胞状树枝晶胞状树枝晶③③自由树枝晶自由树枝晶( (等轴晶等轴晶) )2 2 枝晶端部的温度与溶质浓度枝晶端部的温度与溶质浓度三种不同形式的树枝晶三种不同形式的树枝晶: :①①纯金属的等轴晶，其长大过程由热扩散控制纯金属的等轴晶，其长大过程由热扩散控制②②合金的等轴晶，其长大过程由热扩散及溶质扩散两者控制合金的等轴晶，其长大过程由热扩散及溶质扩散两者控制③③合金的柱状树枝晶，由于存在着正的温度梯度，其长大过程合金的柱状树枝晶，由于存在着正的温度梯度，其长大过程主要由溶质扩散控制主要由溶质扩散控制 如图如图4-274-27所示a ba b是纯金属凝固的情况，凝固过程中，两是纯金属凝固的情况，凝固过程中，两者均无溶质排出，后者是在过冷液体中形成的，此时，在固液者均无溶质排出，后者是在过冷液体中形成的，此时，在固液界面前沿存在着负的温度梯度，从而使界面前沿存在着负的温度梯度，从而使“ “热树枝晶热树枝晶” ”变得不稳变得不稳定。

定2020c dc d图为合金凝固的情况，两者都出现有成分过冷，在图为合金凝固的情况，两者都出现有成分过冷，在单相凝固单相凝固条件下，温度梯度为正，凝固时放出潜热与热流一起通过固相传条件下，温度梯度为正，凝固时放出潜热与热流一起通过固相传出，因此，此时的溶质扩散成为影响枝晶生长的主要因素在出，因此，此时的溶质扩散成为影响枝晶生长的主要因素在等等轴凝固轴凝固条件下，同时有热量与溶质向液相排出，两者都是影响枝条件下，同时有热量与溶质向液相排出，两者都是影响枝晶生长不可忽视的因素，要想在这种复杂的情况下找出枝晶端部晶生长不可忽视的因素，要想在这种复杂的情况下找出枝晶端部曲率半径、生长速度以及它们与温度和溶质分布的关系是很困难曲率半径、生长速度以及它们与温度和溶质分布的关系是很困难的2121为使问题简化，为使问题简化，W.KurzW.Kurz等人在这里只考虑了单向凝固条件下单等人在这里只考虑了单向凝固条件下单个枝晶尖端部位的情况，图中　　　被称为无量纲溶质过饱和个枝晶尖端部位的情况，图中　　　被称为无量纲溶质过饱和度，以　　表示，它表示了枝晶端部溶质向液相内扩散的驱动度，以　　表示，它表示了枝晶端部溶质向液相内扩散的驱动力，　值越大，固相的长大速度越大。

力，　值越大，固相的长大速度越大为了确定枝晶生长速度、枝晶为了确定枝晶生长速度、枝晶尖端曲率半径和固液界面处的尖端曲率半径和固液界面处的液相成分之间的关系，有必要液相成分之间的关系，有必要建立枝晶端部处的溶质平衡建立枝晶端部处的溶质平衡由于枝晶长大，单位时间排出由于枝晶长大，单位时间排出的溶质的量为：的溶质的量为：与此同时，枝晶端部前沿液相内与此同时，枝晶端部前沿液相内溶质单位时间的扩散量为：溶质单位时间的扩散量为：2222达到稳态时达到稳态时:J:J1 1=J=J2 2即枝晶端部的溶质浓度梯度，可以近似地看即枝晶端部的溶质浓度梯度，可以近似地看做长大着的球体前沿的溶质浓度梯度，即：做长大着的球体前沿的溶质浓度梯度，即：代入上式可得：代入上式可得：或或 4-494-49式中，式中， 为溶质的为溶质的P P’ ’ecleteclet数，它是枝晶端部曲率半径数，它是枝晶端部曲率半径R R与溶质边界层厚度与溶质边界层厚度 的比值。

对于由热扩散控制的枝晶生长来的比值对于由热扩散控制的枝晶生长来说，说，P P‘ ‘ecleteclet数可表示为：数可表示为： 式中，a a为热扩散率，为热扩散率，PtPt被被称为热的称为热的P P’ ’ecleteclet数，此时，与数，此时，与PtPt相平衡的则是热的过饱和度，即相平衡的则是热的过饱和度，即 4-504-50以上两式表示简化了的半球形枝晶端部曲率半径、枝晶生长速度以上两式表示简化了的半球形枝晶端部曲率半径、枝晶生长速度与枝晶端部前沿液相内溶质浓度或温度的关系，在与枝晶端部前沿液相内溶质浓度或温度的关系，在 一定的情一定的情况下，况下，v v与与R R成反比关系成反比关系2323v v与与R R虽然在虽然在 一定的条件下是成反比关系，但是，一定的条件下是成反比关系，但是，R R值只能在值只能在某一个定值的情况下枝晶才能稳定生长，此时的某一个定值的情况下枝晶才能稳定生长，此时的R R以以RsRs表示。

表示LangerLanger等人根据界面稳定性动力学理论认为，等人根据界面稳定性动力学理论认为，RsRs大约等于枝晶大约等于枝晶端部最小的扰动波长端部最小的扰动波长 即，即， 具有小曲率半径的枝晶，由于侧枝的发展，将倾向于使曲率半径具有小曲率半径的枝晶，由于侧枝的发展，将倾向于使曲率半径变大，具有大曲率半径的枝晶，由于枝晶端部不稳定性的发展，变大，具有大曲率半径的枝晶，由于枝晶端部不稳定性的发展，将倾向于使曲率半径减小将倾向于使曲率半径减小2424稳定的扰动波长稳定的扰动波长 可以用可以用 M-S M-S 界面稳定性理论导出，由于式界面稳定性理论导出，由于式 过于繁琐，现作如下假设：过于繁琐，现作如下假设：1 1）液、固相的热导率相等，）液、固相的热导率相等，2 2）液、固相的温度梯度相等，）液、固相的温度梯度相等，3 3）溶质平衡分配系数很小，）溶质平衡分配系数很小，振幅随时间的变化率可简化为：振幅随时间的变化率可简化为：当当 时，即可保持平界面稳定的最小扰动波长时，即可保持平界面稳定的最小扰动波长 。

为使为使 ，可能出现两种情况：其一是等式右侧第一个括号等于，可能出现两种情况：其一是等式右侧第一个括号等于0 0，由于式中，由于式中所以，所以， ，此乃平界面；其二是等式右侧第二个括号等于，此乃平界面；其二是等式右侧第二个括号等于0 0，可得：，可得：2525得到稳定的曲率半径为：得到稳定的曲率半径为： 4-574-57平界面前沿浓度梯度平界面前沿浓度梯度GcGc可表示为：可表示为： 4-584-58由式由式4-494-49可知：可知：代入式代入式p=1-kp=1-k0 0整理得：整理得：将式将式4-584-58代入式代入式4-574-57可得：可得： 4-594-59式式4-594-59表示了向过饱和液体中伸入长大的单个半球面枝晶长大表示了向过饱和液体中伸入长大的单个半球面枝晶长大速度速度v v、端部曲率半径、端部曲率半径R R与温度梯度与温度梯度GGL L的关系，这种关系以于不的关系，这种关系以于不同的同的GGL L值可以用图值可以用图4-304-30表示。

表示2626可以看出，在长大速度临近图中可以看出，在长大速度临近图中vcvc的情况下，的情况下，v v值稍微减小，就值稍微减小，就会促使Ｒ值急急剧增加，这就意味着很容易形成平面晶会促使Ｒ值急急剧增加，这就意味着很容易形成平面晶，这种低的生长速度所表现的情况与胞晶生长相适应这种低的生长速度所表现的情况与胞晶生长相适应GGL L值愈值愈大，越可以使胞晶在大的大，越可以使胞晶在大的v v值条值条件下形成平面晶在长大速度中件下形成平面晶在长大速度中等或较高时，属于枝晶生长，此等或较高时，属于枝晶生长，此时时v v与Ｒ呈线性关系，与Ｒ呈线性关系，GGL L值的大值的大小对Ｒ不发生明显的影响由此小对Ｒ不发生明显的影响由此可见，胞晶长大时其可见，胞晶长大时其v v与Ｒ的关与Ｒ的关系同枝晶长大有很大的差别系同枝晶长大有很大的差别2727式式4-594-59是很复杂的，通过以上分析可以将它分为低生长速度和是很复杂的，通过以上分析可以将它分为低生长速度和中、高生长速度的两个区域在中、高生长速度的两个区域在低的生长速度区域低的生长速度区域内，由于Ｒ内，由于Ｒ大，Ｇ大，Ｇibbs Thomsonibbs Thomson效应可以忽略，上式简化为：效应可以忽略，上式简化为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4-604-60在高、中生长速度区域内，由于Ｒ小，在高、中生长速度区域内，由于Ｒ小，4-594-59式简化为：式简化为： 4-614-61式中，式中，令式令式4-604-60与与4-614-61相等，则可求出胞晶向枝晶生长转变的临界速相等，则可求出胞晶向枝晶生长转变的临界速度度v vtrtr，，即即 4-624-62式式4-624-62即为在ＧＬ一定条件下，形成平面晶的临界生长速度即为在ＧＬ一定条件下，形成平面晶的临界生长速度v vc c与胞晶转变为树枝晶生长速度与胞晶转变为树枝晶生长速度v vtrtr的关系。

的关系2828枝晶端部的溶质浓度枝晶端部的溶质浓度CtCt同样受到界面稳定性的影响同样受到界面稳定性的影响R.TrivediR.Trivedi指出，在枝晶生长过程中有利于扰动增长的指出，在枝晶生长过程中有利于扰动增长的“ “成分过冷成分过冷” ”作用作用等于等于有利于扰动衰减的有利于扰动衰减的界面能作用界面能作用时，枝晶端部将是稳定的时，枝晶端部将是稳定的 “ “成分过冷成分过冷” ”参数为：参数为： “ “界面能作用界面能作用” ”参数可表示为：参数可表示为：在枝晶稳定生长时：在枝晶稳定生长时：所以，可以得到：所以，可以得到：从上式可以看出，在低生长速度情况下，由于曲率半径比较大从上式可以看出，在低生长速度情况下，由于曲率半径比较大，曲率效应可以忽略不计曲率效应可以忽略不计此时此时 或或2929式中式中k kE E为溶质有效分配系数可以看出，温度梯度及生为溶质有效分配系数可以看出，温度梯度及生长速度对长速度对C Ct t 起支配作用。

随着起支配作用随着v v的减少或温度梯度的增的减少或温度梯度的增加，加，C Ct t 将长高，直至将长高，直至 时，时， ，， ，此即平界面稳定态的情况此即平界面稳定态的情况3030R.TrivediR.Trivedi通过计算，找出通过计算，找出PecletPeclet数与生长速度的关系，如数与生长速度的关系，如4-314-31图所示，在低速条件下，图所示，在低速条件下，P PC C受温度梯度的影响，随着受温度梯度的影响，随着v v的减小而的减小而增加；在高速条件下，增加；在高速条件下，P PC C与温度梯度无关，并随与温度梯度无关，并随v v的增加而增加的增加而增加结合图4-314-31可以看出，当可以看出，当 v=vv=vtrtr 时，即胞晶向树枝晶转变时，即胞晶向树枝晶转变3131相当于图相当于图4-324-32中各曲线的转折处在转折点处中各曲线的转折处在转折点处v=vv=vtrtr ，说明，说明这里枝晶端部的液相成分这里枝晶端部的液相成分C Ct t 降到与合金的原始成分一样，上述降到与合金的原始成分一样，上述情况说明：当情况说明：当 v v大于大于Vc Vc 时平面晶破坏，由于时平面晶破坏，由于“ “成分过冷成分过冷” ”，形，形成胞成胞晶，胞晶尖端伸向液相深处的溶质浓度稀薄区，溶质在胞晶间富晶，胞晶尖端伸向液相深处的溶质浓度稀薄区，溶质在胞晶间富集，为此，随着集，为此，随着v v的增加，的增加，C Ct t下降，直到下降，直到v=vv=vtrtr 时达到最低值。

当时达到最低值当v>vv>vtrtr 时，随着时，随着v v的增加，式的增加，式 4-714-71右侧第一项变得可以忽略不右侧第一项变得可以忽略不计，此时，柱状树枝晶的分枝发达，枝晶端部成分可表示为：计，此时，柱状树枝晶的分枝发达，枝晶端部成分可表示为：3232 第五节 微观偏析1 1 偏析比偏析比S SR R==枝晶间最大溶质浓度枝晶间最大溶质浓度/ /枝晶干最小溶质浓度枝晶干最小溶质浓度2 2 影响枝晶偏析的因素：影响枝晶偏析的因素： ①①冷速大时偏析大冷速大时偏析大 ②②相图中固液相线水平距离大时偏析大相图中固液相线水平距离大时偏析大 ③③元素在固相中扩散系数愈小则偏析愈大元素在固相中扩散系数愈小则偏析愈大 ④④ 时，第三组元使某元素的溶质平衡分配系数时，第三组元使某元素的溶质平衡分配系数k k0 0变得变得愈小，则偏析愈大愈小，则偏析愈大 采用采用长时间扩散退火长时间扩散退火可以消除或减轻显微偏析可以消除或减轻显微偏析3 3 枝晶内溶质分布表达式的导出枝晶内溶质分布表达式的导出: : 所取体积单元内的溶质平衡表达式可写为所取体积单元内的溶质平衡表达式可写为:4-80:4-80式式3333在考虑固相扩散的情况下，上式可写为：在考虑固相扩散的情况下，上式可写为：式中，式中， 为液相密度，为液相密度， 为体积单元中液相所占的侧面积，为体积单元中液相所占的侧面积， 为体积单元与为体积单元与y y向垂直的面积，向垂直的面积，y y为枝晶增厚方向。

为枝晶增厚方向将有关函数关系代入并整理得：将有关函数关系代入并整理得：该式适用于胞晶或柱状树枝晶内有固相扩散、液相中无对流时的该式适用于胞晶或柱状树枝晶内有固相扩散、液相中无对流时的溶质分布情况溶质分布情况3434当当a=0a=0，， 时，时，此乃此乃ScheilScheil公式，它适用于固相无扩散等轴晶的偏析情况．公式，它适用于固相无扩散等轴晶的偏析情况．当当a=0a=0，　　时，，　　时，此乃等轴晶内固相有扩散的偏析情况，该式已由此乃等轴晶内固相有扩散的偏析情况，该式已由BrodyBrody和和FlemingsFlemings于于19661966年导出当　　　，　　　时：当　　　，　　　时：此乃柱状树枝晶内无固相扩散时的情况此乃柱状树枝晶内无固相扩散时的情况应当指出，上述公式描述的是单相合金枝晶内外的溶质分布情应当指出，上述公式描述的是单相合金枝晶内外的溶质分布情况，它们可以半定量地预示显微偏析的趋势况，它们可以半定量地预示显微偏析的趋势3535 第六节 固液相界面非线性动力学理论１固液界面非线性动力学研究状况１固液界面非线性动力学研究状况在预测界面是否稳定时，界面稳定性动力学理论比成分过冷理论在预测界面是否稳定时，界面稳定性动力学理论比成分过冷理论更近一步，但是用更近一步，但是用M-SM-S理论来判断胞晶、枝晶等固液界面是否稳理论来判断胞晶、枝晶等固液界面是否稳定还存在一些问题：定还存在一些问题：1 1）只适用于固液界面形态变化缓慢的稳定性。

只适用于固液界面形态变化缓慢的稳定性2 2）当固液界面有较大振幅时，）当固液界面有较大振幅时，M-SM-S稳定性理论就无法预测界面稳定性理论就无法预测界面的稳定性的稳定性3 3）） 胞晶、枝晶都是在远离平衡的条件下得到的，在远离平衡时胞晶、枝晶都是在远离平衡的条件下得到的，在远离平衡时固液界面扰动振幅较大，所以就不能只考虑扰动振幅的线性项作固液界面扰动振幅较大，所以就不能只考虑扰动振幅的线性项作用，同时还要考虑其中非线性项作用用，同时还要考虑其中非线性项作用36364 4）） 在固液界面生长速度和温度梯度一定的情况下，在固液界面生长速度和温度梯度一定的情况下，M-SM-S理论可理论可表示为：表示为： ，，a a0 0是与生长速度、温度梯度和浓度梯度是与生长速度、温度梯度和浓度梯度有关的系数有关的系数当当 时，时， ，表明，表明 随时间增加而逐渐增加，这时固液随时间增加而逐渐增加，这时固液界面表现出不稳定；当界面表现出不稳定；当 时，时， ，表明，表明 随时间增加随时间增加而逐渐地减小，这时固液界面的扰动振幅逐渐趋于而逐渐地减小，这时固液界面的扰动振幅逐渐趋于0 0，固液界面，固液界面向稳定的方向发展，一直达到稳定为止。

这表明线性方程所控制向稳定的方向发展，一直达到稳定为止这表明线性方程所控制的系统状态只有稳定方向和不稳定方向两种发展趋势至于固液的系统状态只有稳定方向和不稳定方向两种发展趋势至于固液界面处于不稳定后，扰动振幅逐渐增，何时才能达到稳定状态，界面处于不稳定后，扰动振幅逐渐增，何时才能达到稳定状态，M-SM-S理论无法回答理论无法回答3737 Wollkin Wollkin和和SegelSegel给出了在振动振幅很小的条件下非线性微分给出了在振动振幅很小的条件下非线性微分方程：方程：其中，其中，a0a0是线性稳定系数，是线性稳定系数，a1a1是是LandauLandau常数当当 时，表示系统进入到非稳定状态，若时，表示系统进入到非稳定状态，若 ，， ，表，表明扰动振幅随时间增加而逐渐增加，固液界面达不到稳定状态，明扰动振幅随时间增加而逐渐增加，固液界面达不到稳定状态，若若 时，时， 可能等于零，表明失稳的固液界面可以重新回可能等于零，表明失稳的固液界面可以重新回到稳定状态；当到稳定状态；当 ，系统与上述情况相反。

系统与上述情况相反3838。