线面垂直、面面垂直.docx

线面垂直、面面垂直及其证明线面垂直的判定定理(1)线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么 这条直线和这个平面垂直.(2)判定定理：如果直线l和平面 内的两条相交的直线m,n都垂直，那么直 线l垂直于平面 .(线面垂直 线线垂直)(3)三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条 直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直， 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直(4)线面垂直的证明例1已知正方体ABCD ABiGDi ,求证：AC 面ABQi .例2如图1所示， ABCD为正方形，SAL平面ABCD ,过A且垂直于SC的平面分别交 SB SC, SD于 E, F, G .求证：AE SB, AG SD .例 3 已知 ABC 中 ACB 90o, SA 面 ABC, AD SC,求证：AD 面 SBC.例4在正方体ABCD ABC1D1中，M为CCi的中点，AC交BD于点O,求证: AO 平面MBD .练习1在正方体ABCD AB£Qi中.(1)求证：AC 平面BD1BD.(2)求证：BD1 平面ACB1.练习2在三棱锥 A BCD中，BC AC, AD BD ,作BE CD, E为垂足，作 AH BE于H.求证：AH 平面BCD.AC CD练习3在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD , AB AD ,ABC 60, PA AB BC , E 是 PC 的中点.(1)求证：CD AE.(2)求证：PD 面 ABE.面面垂直(1)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这 条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为 1,两个面分别为, ,二面角记作为 1^(2)二面角的平面角定义：在二面角1 棱1上取一点。

在半平面 和 内，从点分别作垂直于棱1的射线OA,OB ,射线组成 AOB.则 AOB叫做二面角的平 面角.二面角的取值范围为[0 ,180].(3)面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)， 则这两个平面互相垂直.(4)面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直(5)面面垂直的正面即：面面垂直线面垂直 线线垂直.例1如图，在正方体 ABCD AB1GD1中，E是AA1的中点.(1)求证：AC〃平面BDE;(2)求证：平面 AAC 平面BDE .例2如图，直三棱柱 ABC AB1C1中，侧棱垂直于底面，ACB 901AC BC — AA, D是棱AA1的中点，求证：平面 BDC1平面BDC .2练习如图，过S引三条长度相等但不共面的线段 SASB,SC,且 ASB ASC 60 , BSC 90 ,求证：平面 ABC，平面 BSC.三立体几何高考证明例1 （2013江苏）如图，在三棱锥 S ABC中，平面SAB 平面SBC, AB BC , AS AB,过A作AF SB,垂足为F ,点E, G分别是棱 SA, SC的中点.求证：B(1)平面EFG//平面ABC ；(2) BC SA.例2 (2012江苏)如图，在直三棱柱ABC ABG中，A1B1 AC1, D，E分别是棱BC，CC1上的点(点口不同于点C),且AD DE，F为BC1的中点.求证：(1) 平面 ADE 平面 BCC1B1；(2) 直线A1F 〃平面ADE.例3如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四四边形，DAB 60 ,AB 2AD , PD 底面 ABCD.(1)证明：PA BD(2)设PD AD 1,求棱锥D PBC的高.练习1如图，几何体E ABCD是四棱锥，VABD为正三角形，CB CD,EC BD.(I)求证：BE DE;(阴若/BCD 120 , M为线段AE的中点，求证：DM //平面BEC .练习2 (2011天津)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是平行四边形,ADC 45 , AD AC 1,。

为 AC 的中点，PO 平面ABCD, PO 2, M为PD的中点.(I)证明：PB〃平面ACM ；(II)证明：AD 平面PAC;(m)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.。