辽宁省大连市长海中学高三数学理月考试卷含解析.docx

辽宁省大连市长海中学高三数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设复数，则（    ）A．         B．       C．       D．参考答案：A2. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞，|φ|＜），其图象相邻两个对称中心的距离为，且f（x+）=f（﹣x），下列判断正确的是　（　　）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）在[，π]上单调递增D．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称参考答案：C【考点】正弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法．【分析】确定函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：由题意，T=π=，∴ω=2，∵f（x+）=f（﹣x），∴函数关于x=对称，∴sin（+φ）=±1，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），对照选项，可得C正确．故选C．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．3. 已知平面向量的集合到的映射为，其中为常向量，若映射满足对任意恒成立，则用坐标可能是   A.    B.     C.     D. 参考答案：D略4. 下列四个命题中，正确的是  A．{0}R    B．2  C．2    D．{2参考答案：D略5. 已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为         （  ）  A．      B．         C．      D． 参考答案：答案：D 6. 已知函数，且，，，则（   ）A．         B．       C.         D．参考答案：D7. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C于A、B两点，若，，则椭圆C的离心率为（  ）A.               B.                 C.                   D. 参考答案：D8. 已知集合, 则图中阴影部分所表示的集合为 (　  )A．     B．     C.      D. 参考答案：B略9. 下列命题中，真命题是                                               （   ）A.     B.  C.的充要条件是=   D. 若R，且则至少有一个大于1参考答案：D略10. 设集合则  （     ）A．       B．        C．          D．参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在矩形中，点，分别段，上，且满足，，若，则          ． 参考答案：【知识点】平面向量基本定理【试题解析】因为 ．故答案为：12. 若复数[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，（x，y∈R），则x+y=　 　参考答案：0【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得方程组，求解即可得答案．【解答】解：由[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，得2x﹣y﹣3+（x+2y+1）i=0，即，解得．则x+y=0．故答案为：0．13. 正项数列的前项和为，且，若，则__________.参考答案：14. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第55个数为       . 参考答案：答案：76542 15. 已知函数f(x) =ln(x+），若正实数a，b满足f(2a)+f(b-l)=0，则的最小值是____参考答案：由题可知为单调递增的奇函数，故由可得，故填.16. 已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为　　．参考答案：3x+y﹣4=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0故答案为：3x+y﹣4=0【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．17. 若由一个2*2列联表中的数据计算得k2=4.013,那么有          把握认为两个变量有关系参考答案：95%三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（1）求C1、C2的方程；（2）求证：MA⊥MB．（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求λ的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程．【分析】（1）根据抛物线C2被x轴截得弦长，建立关于b的等式，解出b=1；再由椭圆离心率为，建立a、c的关系式，算出a2=2，由此即可得到椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），且直线AB方程为y=kx，与抛物线方程水运y，得x2﹣kx﹣1=0．利用根与系数的关系，结合向量的坐标运算，化简得=0，从而得到MA⊥MB；（3）设直线MA方程为y=k1x﹣1，直线MB方程为y=k2x﹣1，且满足k1k2=﹣1．由直线MA方程与抛物线C2方程联解，得到点A的坐标为，同理可得，从而得到=．然后用类似的方法得到=，从而得到关于k1、k2的表达式，化成关于k1的表达式再用基本不等式即可求出，由此即可得到λ的取值范围．【解答】解：（1）椭圆C1的离心率e=，∴a2=2b2又∵x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．∴，得b=1，a2=2，可得椭圆C1的方程为而抛物线C2的方程为y=x2﹣1；（2）设直线AB方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），则由消去y，得x2﹣kx﹣1=0∴x1+x2=k，x1x2=﹣1，可得y1+y2=k（x1+x2）=k2，y1y2=kx1?kx2=k2x1x2=﹣k2∵M坐标为（0，﹣1），可得，∴=x1x2+y1y2+y1+y2+1=﹣1﹣k2+k2+1=0因此，，即MA⊥MB（3）设直线MA方程为y=k1x﹣1，直线MB方程为y=k2x﹣1，且满足k1k2=﹣1∴，解得，同理可得因此， =再由，解得，同理可得∴=，即λ=的取值范围为[，+∞）19. 已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈[0，]．（1）当函数取得最大值时，求自变量x的值；（2）若方程f（x）﹣a=0有两个实数根，求a的取值范围．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． 专题：三角函数的求值．分析：（1）化简可得f（x）=2sin（x+），易得当x=时，函数取最大值；（2）问题等价于f（x）与y=a有两个不同的交点，作图象易得a的取值范围．解答： 解：（1）化简可得f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∵由已知可得x∈[0，]，∴当x+=即x=时，函数取最大值；（2）方程f（x）﹣a=0有两个实数根，等价于f（x）与y=a有两个不同的交点，作图象可得a的取值范围为：[，2）点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，等价转化并作图是解决问题的关键，属中档题．20. 正项数列中，，其前项和满足：.   （Ⅰ）求与；   （Ⅱ）令, 数列{}的前项和为. 证明: 对于任意的,都有.参考答案：解: （Ⅰ）由,得. 由于是正项数列,所以.      于是，当时,.      所以 （）         又，     综上,数列的通项.   （Ⅱ）证明:由于，                  则当时，有，    所以，当时，有   又 时，    所以，对于任意的,都有.          略21. （本小题满分12分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组80.16第二组①0.24第三组15②第四组100.20第五组50.10合              计501.00(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率． 参考答案：解：(1) ①②位置的数据分别为12、0.3；   …………………4分(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1； ……………………8分(3) 设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种．…………………………………………………………9分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种． ……………………………10分所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为． ……………12分略22. （本小题满分15分）设函数，（其中为实常数且），曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ) 若函数无极值点且存在零点，求的值；(Ⅱ) 若函数有两个极值点，证明的极小值小于.参考答案：解：（Ⅰ）， 由题得，即． 此时，；由无极值点且存在零点，得解得，于是，．……………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函数有两个极值点，只要方程有两个不等正根， 那么实数应满足 ，解得， 设两正根为，且，可知当时有极小值．其中这里由于对称轴为，所以，且，得记，，有对恒成立，又，故对恒有，即．所以有而对于恒成立，即在上单调递增，故．……………………………15分。