湖南省益阳市2015-2016学年高二上学期期末数学（理）试题 含解析.doc

2015-2016 学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．sin750° 的值是（ 　　）A． B．﹣ C． D．﹣2．在等差数列{a n}中，a 1+a5+a9=12，则它的前 9 项和 S9 等于（　　）A．9 B．18 C．36 D．723．下列有关命题的说法中正确的是（　　）A．若命题“p∧ q”为假，则“p∨q”也为假B．命题“∃ x0∈R，x +x0+1＜0” 的否定是“∀ x∈R，x 2+x+1＜0”C．命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为 “若 x2=1，则 x≠1”D．命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题为真命题4．某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：[20，40） ，[40，60） ，[60，80） ，[80，100） ，绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于 60 分的人数是 18，则该班的学生人数是（　　）A．50 B．54 C．60 D．645．已知向量 ， 满足：| |=3，| |=2，| + |=4，则 ﹣ =（　　）A． B．10 C． D．36．执行如图所示的程序框图，则输出的结果 s 是（　　）A．15 B．105 C．126 D．9457．抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（　　）A． B． C．1 D．8．函数 y=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则 ω，φ 可以取的一组值是（　　）A．ω =2，φ =﹣ B．ω=2，φ= C．ω =2，ω=﹣ D．ω=1，φ=9．在区间[0，2π]上随机取一个数 x，则事件“cosx ≥ ”发生的概率为（　　）A． B． C． D．10．以 q 为公比的等比数列{a n}中，a 1＞0，则“a 1＜a 3”是 “q＞1”的（　　）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知 O 是坐标原点，点 A（﹣1，1） ，若点 M（x，y）为平面区域 内的一个动点，则 的取值范围是（　　）A．[﹣1， 0] B．[ ﹣1，2] C．[0，1] D．[0，2]12．在 R 上定义运算⊙：x⊙ y=x（1﹣ y） ．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1 对任意实数 x 成立，则（　　）A．﹣1＜ a＜1 B．0 ＜a ＜2 C． D．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分.、共 20 分.13．中心医院体检中心对某学校高二年级的 1200 名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为 150 的样本，已知女生比男生少抽了 10 人，则该年级的女生人数是　 　　　　　．14．已知 a＞0，b＞0，且 + =1，则 ab 的最小值为　　　　　　．15．已知椭圆 的离心率为 ，则双曲线 的离心率为　　　　　　．16．已知直线 y=k（x+3） （k＞0）与抛物线 C：y 2=12x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|=3|FB |，则 k 的值等于　　　　　　．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知 f（x）=sinx（sinx +cosx）+cos 2x．（1）求 f（x）的最小正周期和最大值；（2）求 f（x）的单调递减区间．18．某厂通过技术改造降低了产品 A 对重要原材料 G 的消耗，如表提供了该厂技术改造后生产产品 A 的过程记录的产量 x（吨）与原材料 G 相应的消耗量 y（吨）的几组对照数据：x 3 4 5 6y 1.6 2.2 3.0 3.4（1）请在图 a 中画出如表数据的散点图；（2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产 50 吨产品 A 需要消耗原材料 G 多少吨？参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式： = ， = ﹣ ．19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD∥BC ，∠ABC=90 °，AB=BC=2，PA=AD=4 ．（1）求证：CD⊥平面 PAC；（2）求二面角 C﹣PD﹣A 的余弦值．20．在△ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b（tanA+tanB）=2ctanB ．（1）求角 A；（2）若 a=2 ，c=2，求△ABC 的面积 S．21．已知数列{a n}中，2a n+1﹣an+1an+a =4，S n 为它的前 n 项和，且 S1，S 2，S 4 成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令 bn=an3n，求数列{b n}的前 n 项和 Tn．22．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到点 A（﹣1，0）及点 B（1，0）的距离之和为 4，且直线 l：y=kx +2 与 P 点的轨迹 C 有两个不同的交点 M，N．（1）求 k 的取值范围；（2）设轨迹 C 于 y 轴的负半轴交于点 Q，求△MNQ 的面积的最大值及对应的 k 值．2015-2016 学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．sin750° 的值是（ 　　）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin750°=sin （2×360° +30°）=sin30 °= ．故选：A．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．在等差数列{a n}中，a 1+a5+a9=12，则它的前 9 项和 S9 等于（　　）A．9 B．18 C．36 D．72【分析】由于数列{a n}为等差数列，且 a1+a5+a9=12，可得 3a5=12，解得 a5．则它的前 9 项和 S9= =9a5．【解答】解：由于数列{a n}为等差数列，且 a1+a5+a9=12，∴3a 5=12，解得 a5=4．则它的前 9 项和 S9= =9a5=36．故选；C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．下列有关命题的说法中正确的是（　　）A．若命题“p∧ q”为假，则“p∨q”也为假B．命题“∃ x0∈R，x +x0+1＜0” 的否定是“∀ x∈R，x 2+x+1＜0”C．命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为 “若 x2=1，则 x≠1”D．命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题为真命题【分析】A．根据复合命题的真假关系 进行判断．B．根据含有量词的命题的否定进行判断．C．根据否命题的定义进行判断．D．根据逆否命题的等价性进行判断．【解答】解：A．若命题“p∧ q”为假，当 p 假 q 真，满足条件，但“p∨q” 为真，故 A 错误，B．命题“∃ x0∈R，x +x0+1＜0” 的否定是“∀ x∈R，x 2+x+1≥0”，故 B 错误，C．命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为 “若 x2≠1，则 x≠1”，故 C 错误，D．若 x=y，则 sinx=siny，则原命题正确，则逆否命题也为真命题．故 D 正确，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，否命题以及四种命题的真假关系，比较基础．4．某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：[20，40） ，[40，60） ，[60，80） ，[80，100） ，绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于 60 分的人数是 18，则该班的学生人数是（　　）A．50 B．54 C．60 D．64【分析】根据频率分布直方图，求出得分低于 60 分的频率，再求该班的学生人数．【解答】解：由频率分布直方图知，得分低于 60 分的频率为（0.005+0.01）×20=0.3，∵低于 60 分的人数是 18，∴该班的学生人数是 =60故选：C．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图求出频率，是基础题．5．已知向量 ， 满足：| |=3，| |=2，| + |=4，则 ﹣ =（　　）A． B．10 C． D．3【分析】根据向量的数量积运算和向量模即可求出．【解答】解：∵| |=3，| |=2，| + |=4，∴| + |2=| |2+| |2+2 =16，∴2 =3，∴| ﹣ |2=| |2+| |2﹣2 =9+4﹣3=10，∴| ﹣ |= ，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果 s 是（　　）A．15 B．105 C．126 D．945【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当 i=1 时，不满足退出的循环的条件，执行循环后，t=3 ，S=1，i=2 ；当 i=2 时，不满足退出的循环的条件，执行循环后，t=5 ， S=15，i=3 ；当 i=3 时，不满足退出的循环的条件，执行循环后，t=7 ， S=105，i=4 ；当 i=4 时，满足退出的循环的条件，故输出的 S 值为 105，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（　　）A． B． C．1 D．【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点 F（1，0） ．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为 y=± x，化成一般式得： ，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．【解答】解：∵抛物线方程为 y2=4x∴2p=4，可得 =1，抛物线的焦点 F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a 2=1 且 b2=3，可得 a=1 且 b= ，双曲线的渐近线方程为 y=± ，即 y=± x，化成一般式得： ．因此，抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= =故选：B【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．8．函数 y=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则 ω，φ 可以取的一组值是（　　）A．ω =2，φ =﹣ B．ω=2，φ= C．ω =2，ω=﹣ D．ω=1，φ=【分析】由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ 的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数 y=2sin（ω x+φ）的部分图象，可得 = ﹣ ，求得 ω=2，再根据五点法作图可得 2× +φ=0，求得 φ=﹣ ，故选：A．【点评】本题主要考查由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ 的值，属于基础题．9．在区间[0，2π]上随机取一个数 x，则事件“cosx ≥ ”发生的概率为（　　）A． B． C． D．【分析】先求出不等式 cosx≥ 对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵0≤x≤2π，cosx≥ ，∴0≤x≤ 或 ≤x≤2π，则对应的概率 P= = ，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键．10．以 q 为公比的等比数列{a n}中，a 1＞0，则“a 1＜a 3”是 “q＞1”的（　　）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：在等比数列中，若 a1＜a 3，则 a1＜a 1q2，∵a 1＞0，∴q。