定积分在经济学中的应用培训讲学.docx

定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富文中通过具体 事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、 消费者剩余和生产者剩余等方面的应用关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函 数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称由于函数概念的产生和应用的 加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何 之后产生了，这就是微积分学微积分学这门学科在数学发展中的地 位是十分重要的可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创 造微积分是与应用联系着并发展起来的定积分推动了天文学、物 理学、化学、生物学、工程学、经济学等白然科学、社会科学及应用 科学各个分支的发展并在这些学科中有越来越广泛的应用， 微积分 是一门历史悠久而又不断发展进步的学科， 历史上许多著名的数学家 把毕生的心血投入到微积分的研究中， 从生产实际的角度上看，应用 又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有 的发展本文将重点介绍定积分在经济学中的应用1利用定积分求原经济函数问题在经济管理中，由边际函数求总函数(即原函数)，一般采用不 定积分来解决，或求一个变上限的定积分。

可以求总需求函数，总成本 函数，总收入函数以及总利润函数设经济应用函数u( x ) 的边际函数为u(x)，则有xu(x) u(0) 0u(x)dx例1 生产某产品的边际成本函数为c(x) 3x2 14x 100,固定成本C(0) =10000,求出生产x个产品的总成本函数总成本函数xc(x) c(0) 0 c (x)dxx= 10000 o(3x2 14x 100)dx= 10000 [x3_7x2 100x]|x= 10000 x3 7x2 100x2 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量，则直接采用定积分来解决例2已知某产品总产量的变化率为 Q(t) 40 12t (件/天)，求从第5天到第10天产品的总产量解所求的总产量为Q : Q(t)dt 510 C e , r(20 12t )dt (40t 6t )|5 (400 600) (200 150) 650(件)53例3 设生产x个产品的边际成本 C = 100+ 2x , 其固定成本为co 1000元，产品单价规定为500元假设生产出的产品能完全销售 ，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润 r、 r ——+、r" 、> x总成本函数为c(x) 0 (100 2t)dt c(0)100x x2 1000总收益函数为R( x ) = 500x总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x )=400x x2 1000L =400- 2x令 L = 0,得x= 200因为 L ( 200) < 0所以，生产量为200单位时，利润最大。

最大利润为 L( 200)=400200- 2002-1000=39000(元)例4 某企业生产x吨产品时的边际成本为 c(x) —x 30(元/50试求产量为多少时平均成本最低？吨)且固定成本为90或,首先求出成本函数xc(x) o c (x)dx c0x 1 1 2(x 30)dx 900 x2 30x 9000 50 100得平均成本函数为900xc(x)幽—x 30x 100求一阶导数—/、 1 900c (x) 厂100 x2令 C 0,解得 x1 300(x2 = - 300 舍去)因此，C( x)仅有一个驻点x1= 300,再由实际问题本身可知C( x )有最小值，故当产量为300吨时，平均成本最低例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t的追加成本和增加收益分别/ 3C(t) 6 2t2 (百万元/年)R/(t) 18 t3试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？最大利益是多少?解：有极值存在的必要条件 R/(t) C/(t) 0,即2 23 318 t (6 2t ) 0可解得 t=8// // 2R(t) C(t) -t3R〃(t) C〃(t) 0故t * =8时是最佳终止时间，此时的利润为8 / _ /L 0 [R (t) C (t)]dt 202 2)]dt 208 3 30[(18 t ) (6 2t59 3 8(12t -t )|o 20 538.4 2018.4因此最大利润为18.4百万元4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中，一般说来，冏品价格低,需求就大；反之，冏品价格局，需求就小，因此需求函数Q = f( P)是价格P的单调递减函数。

同时商品价格低，生产者就不愿生产，因而供给就少；反之，商品 价格高，供给就多，因此供给函数Q=g( P)是价格P的单调递增函数由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数，所以分别存在反函数P=f 1(Q)与P= g 1(Q),此时函数P=f 1(Q)也称为需求函数，而P=g 1(Q)也称为供给函数需求曲线(函数)P= f 1(Q)与供给曲线(函数)P= g 1(Q)的交点 A( P* , Q* )称为均衡点在此点供需达到均衡均衡点的价格 P*称 为均衡价格，即对某商品而言，顾客愿买、生产者愿卖的价格如果 消费者以比他们原来预期的价格低的价格 (如均衡价格)购得某种商 品，由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余假设消费者以较高价格P= f 1(Q)购买某商品并情愿支付，Q*为均衡 商品量，则在［Q, Q+ Q］内消费者消费量近似为f 1(Q) Q,故消费*者的总消费量为 f 1(Q)dQ，它是需求曲线P=f 1(Q)在Q与Q*之间的曲边梯形OQ*Api的面积，如图如果商品是以均衡价格P*出售，那么消费者实际销售量为P* Q*因此，消费者剩余为*QJ _ * _ *0 f (Q)dQ p Q它是曲边三角形P*AR的面积。

如果生产者以均衡价格P*出售某商品，而没有以他们本来计划 的以较低的售价P g 1(Q)出售该商品，由此所获得的额外收入，称它为生产者剩余同理分析可知：P* Q*是生产者实际出售商品的收入总额,*0 g 1 (Q)dQ是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额，故生产者剩余为_*_* Q* 1 一 一P Q 0 g (Q)dQ它是曲边三角形pAp*的面积例6设某产品的需求函数是P=30 0.2JQ如果价格固定在每件10元，试计算消费者剩余已知需求函数P=f 1(Q) 30 0.2 Q ,首先求出对应于P* = 10的Q*值,令30 0.2^/Q = 10,得Q* = 10000于是消费者剩余为*Q _ 1 _ - * _ *0 f (Q)dQ P Q1000= o (30 0.2 . Q)dQ 10 10000=(30Q- — Q32) |00000 10000015=66666.67(元)例7 设某商品的供给函数为P= 250+ 3Q +0. 01 Q2,如果产品的单价为425元,计算生产者剩余首先求出对应于p*= 425的Q*的值，令425= 250+ 3Q + 0. 01 Q2,得一正解Q*=50,于是生产者剩于为* Q* 1p Q g 1(Q)dQ 50=425 50 o (250 3Q 0.01Q2)dQ3 1 50=425 50 2500 -Q2 0.01 Q3 |o2 3=4583.339(元)。

1 00000C^元，平均利润是销售额的10%.根据公司以往的经验，广告宣传期间月销售额的变化率近似地 服从增长曲线1 106 e.2t( t以月为单位)，公司现在需要决定是否 举行一次类似的总成本为1.3 105美元的广告活动.按惯例，对于超 过1 106美元的广告活动，如果新增销售额产生的利润超过广告投资 的10%，则决定做广告试问该公司按惯例是否应该做此广告 ？解 由公式知，12个月后总销售额是当t= 12时的定积分0.02即总销售额=121000000e.02tdt 1000000e0.02t I250000000e0.24 11356000（美元）0 0公司的利润是销售额的10% ,所以新增销售额产生的利润是0.10 （13560000 12000000） 156000（美元）156000美元利润是由花费130000美元的广告费而取得的，因此,广告所产生的实际利润是156000- 130000= 26000(美元)这表明赢利大于广告成本的10%,故公司应该做此广告6 利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f(t), 假设连续收益流以连续复利率r计息，从而总现值y= J f (t)e rtdt o例9现对某企业给予一笔投资A,经测算，该企业在T年中可以按每年a元的均匀收入率获得收入，若年利润为r,试求：(1) 该投资的纯收入贴现值；(2) 收回该笔投资的时间为多少？(1)求投资纯收入的贴现值：因收入率为a,年利润为r,故投资后的T年中获总收入的现值为Y= 0 ae rtdt — （1 e rt）从而投资所获得的纯收入的贴现值为R y A -（1 erT）A r（2）求收回投资的时间：收回投资，即为总收入的现值等于投资。

由—（1 erT） A得T = 1lnW^-即收回投资的时间为T」lnW- r a Ar例如，若对某企业投资A = 800（万元），年利率为5% ,设在20年中的均匀收入率为a= 200（万元/年）,则有投资回收期为1 , 200T In 0.05 200 800 0.05=20ln1.254.46（年）由此可知，该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元，投资回收期约 为4.46年.例10 ,投资成本为A= 10000（万元）,投资年利率为5% ,每年的均匀收入率为a= 2000（万元）,求该投资为无 限期时的纯收入的贴现值（或称为投资的资本价值）.由已知条件收入率为a= 2000（万元），年利率r= 5%,故无限期 的投资的总收入的贴现2000e 0.05tdt0bLimb2000e 0.05tdt0bLim2000 0.05b1 e 0.05=20000.05=40000 (万元)从而投资为无限期时的纯收入贴现值为R= y-A= 40000-10000= 30000(万元)=3亿元.例11? 一对夫妇准备为孩子存款积攒学费，目前银行的存款的年利 率为5% ,以连续复利计算，若他们打算10年后攒够5万元，计算这 对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱 ？设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A元(即存款流为f( t)= A ),使得10年后存款总额的将来值达到5万元，由公式得 10Ae.2(10。