案例九-马尔科夫预测.docx

案例九 马尔科夫预测一、 市场占有率的预测重点例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供分别用1，2，3表示去年12月份对2000名消费者进行调查购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600同时得到转移频率矩阵为：其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费者继续购买厂家1的 产品转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人N的第二行与第三行的含义同第一行1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布用800，600和600分别去除矩阵N的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵：于是，第月的绝对分布，或第 月的市场占有率为：时，时，时, 类似的可以计算出，，和现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示： 月份（i）三个厂家的市场占有率10.520.240.2420.4960.2520.25230.50080.24960.249640.499840.250080.2500850.5000320.2499840.24998460.50.250.2570.50.250.25从表中可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50%，而厂家2和厂家3的市场占有率随都逐渐稳定在25%.由于转移概率矩阵P是正规矩阵，因此P有唯一的均衡点。

由本例可知，由定理可知，，即随着时间的推移，三个厂家的市场占有率逐渐趋于稳定当市场达到均衡状态时，各厂家的市场占有率分别为50%、25%和25%由表可以看出，第三个月时，市场已经基本达到均衡状态，此时，各厂家的市场占有率与均衡状态时的市场占有率的误差已不足千分之一例2：飞跃、金星、凯歌、英雄电视机厂生产的电视机同时在某市销售，由于产品质量、价格、经营管理水平、服务态度、质量等因素影响，每月订户都有变化根据8、9月份的变化，预测本年后三个月各厂家的用户占有率1）调查目前的用户占有及变动情况8月1日的订户到9月1日发生变化的情况表7.5 8、9月各厂订户厂 家飞跃（Ⅰ）金星（Ⅱ）凯歌（Ⅲ）英雄（Ⅳ）8月份订户9月1日失去订户9月1日保留订户9月1日订户保留率5456548088.1%4955544088.9%4175236587.5%3825432885.9%7.6 8、9月各厂订户的变动厂 家ⅠⅡⅢⅣ8月用户占有数ⅠⅡⅢⅣ4802418153044020252016365141515143285454954173829月用户占有数53751541537218399月份四厂总用户为1839，各厂家的用户占有率分别为：0.292,0.280,0.226,0.202①初始状态向量S(0)=（0.292 0.280 0.226 0.202）（2）计算用户转移概率飞跃厂、金星厂同理可以计算得到凯歌厂。

将以上计算结果写成矩阵就是8~9月的一步转移概率矩阵P（3）预测若本年后三个月各月之间用户阵移概率不变，则可以采用（7.5）式的数学模型预测10月各厂的用户占有率为S(1)=S(0)·P 0.881 0.055 0.037 0.027 =（0.292 0.280 0.226 0.202） 0.049 0.889 0.032 0.030 0.043 0.048 0.875 0.034 0.039 0.065 0.037 0.859 =(0.289 0.289 0.225 0.197)11月各厂用户占有率为 S(2)=S(1)·P 0.881 0.055 0.037 0.027 = (0.289 0.289 0.225 0.197) 0.049 0.889 0.032 0.030 0.043 0.048 0.875 0.034 0.039 0.065 0.037 0.859 =(0.286 0.297 0.224 0.193)12月各厂用户占有率为 S(3)=S(2)·P= (0.286 0.297 0.224 0.193)·P =(0.284 0.303 0.223 0.190)预测结果表明，如果各厂家占有用户的变化依上述规律进行，到该年底，原来用户占有率比较接近的四个厂家将产生很大差异。

金星厂的用户占有率将明显高于其他厂，由9月份的第二位跃进居第一位，而英雄厂则大大低于其他厂马尔科夫稳态了解二、 人力资源预测重点例：某高校为编制师资发展规划，需要预测未来教师队伍的结构现在对教师状况进行如下分类：青年，中年，老年和流退（流失或退休）根据历史资料，各类教师（按一年为一期）的转移概率矩阵为：目前青年教师400人，中年教师360人，老年教师300人试分析3年后教师的结构以及为保持编制不变，3年内应进多少硕士和博士毕业生充实教师队伍解：设目前的教师结构为，则一年后教师结构为：，流退人员98人，为保持编制不变，第一年学校需进98人，此时青年教师为320+98=418人教师结构为：两年后教师结构为：第二年流退100人，因此第二年需进100名硕士和博士毕业生，此时青年教师为334+100=434人教师结构为三年后教师结构为：第三年流退100人，因此第三年需进100名硕士和博士毕业生，此时青年教师为347+100=447人，教师结构为综上所述，3年内需进硕士和博士毕业生298名三年后教师结构为：青年教师447人，中年教师298名，老年教师315名三、项目选址问题例：某汽车修理公司在北京市有甲、乙、丙3个修理厂，由于公司注重对员工的技术培训，树立顾客至上、信誉第一的理念，采用先进管理模式，所以公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。

对客户的调查显示，客户在甲、乙、丙3个修理厂之间的转移概率为：由于公司的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模试分析应选择那个维修厂解：由于的所有元素都大于0，所以P是正规矩阵因此P存在唯一的概率向量解线性方程组：即得唯一解：由此可以看出，长期趋势表明，当公司的客户在3个维修厂之间的转移达到均衡状态时，大约有50%的客户在甲厂维修，大约有16.67%的客户在乙厂维修，大约有33.33%的客户在丙厂维修，因此应选甲厂进行项目投资四、最佳经营策略选择例：北京地区销售鲜牛奶是由3个厂家提供的，该地区客户总数为100万户，假设厂家从每个客户那里每年平均获利50元厂家2的市场调查显示，状态转移概率矩阵为：均衡状态下市场占有率分别为50%，25%和25%,厂家2认为应采取积极的营销策略，提高市场占有率，为此设计了两套方案方案一旨在吸引老客户方案一的实施需花费约450万元，实施方案后估计转移概率矩阵为： 方案二希望吸引厂家1和厂家3的客户，方案的实施需花费大约400万元实施方案后，估计转移概率矩阵为：试选择最佳方案解：方案一，显然的所有元素都大于0，所以为正规矩阵故有唯一的固定点。

解线性方程组：即 得唯一解因此，当市场达到均衡状态时，厂家2的市场占有率达到44%，比原来增加了19个百分点，由此带来的利润为：（万元）方案一成本为450万元，因而实际比原来多获利500万元方案二，类似地可得到的固定概率向量为，即当市场达到均衡状态时，厂家2的市场占有率为42%，比原来增加了17个百分点，由此带来的利润为：（万元）实施方案2的成本为400万元，因而实际比原来多获利450万元比较方案一和方案二可知，实施方案一要比实施方案二多获利50万元因此应选择方案一五、 银行贷款回收问题X例：某商业银行在结算时发现，账目未结清的客户共有800户其中欠款时间为一年的有400户，两年的为250户，三年的有150户银行规定，如果三年后仍不还款，则将其列入呆账（指无法收回的应收账款）根据以往经验，还款情况随时间转移的概率分布如表所示表 还款情况随时间转移的概率分布表123还清呆账100.300.60.12000.50.30.230000.40.6还清00010呆账00001（1） 试分析两年后应收账款的分布情况2） 试分析应收账款的最终分布情况解：这是一个马尔科夫链问题状态空间为，其中状态4是还清 ，状态5是呆账。

由题设知，一步转移概率矩阵为：恰好是标准形其中 (1) 因为连续两年的转移概率矩阵为：所以两年后结清欠款的客户的构成为：这说明两年后，800户中平均有461户已结清，279户已变成呆账，还有60户尚未还清3） 由于所以由矩阵B可以看出，处于状态1，即欠款一年的400个应收账款中有75%将被状态4吸收，其余25%被状态5吸收也就是说，平均有300个应收账款将结清，其余100个将成为呆账，同理欠款两年的250个应收账款中，平均有一半会结清，另一半会成为呆账欠款三年的150个应收账款中，平均有60个将结清，其余90个将成为呆账因此，在总共800个应收账款中，平均来说，最终将有485个结清，其余315个成为呆账六、 保修费估计问题，X例：某生产厂家出售的有三年的保修期假设保修期内一旦产品需要修理，修理后就能保证在保修期内不需再修理对出售的产品分5种状态进行考察状态i表示产品出售时间在第i年内（i=1，2，3），0状态4表示保修期满，状态5表示产品需要修理根据以往经验，一步转移概率矩阵为：假设最近三年已售出产品的情况为：出售时间在一年内的有30万个，满一年不到两年的有20万个，满两年不足三年的有10万个，用向量表示。

试对已售出产品所需的保修费进行估计（假设平均每个的修理费为20元）解：这是马尔科夫链问题转移矩阵恰好是标准形，其中基本矩阵为：于是：由矩阵B可以看出，在出售时间不满一年的30万个中，约有万个需要修理，满一年不足两年的20万个中，约有万个需要修理，满两年不满三年的10万个中，约有万个需要修理因此，在已售出的60万个中，约有17.08万个需要修理显然，通过计。