第6章外部层流边界层中的动量传递.docx

第六章外部层流边界层中的动量传递本章介绍了求解具有偏微分方程形式的边界层层流状态的动量方程的特殊解法：相似性 解法，这种解法的突出优点是将动量方程的偏微分形式转换为常微分形式从所得到的常微 分方程中，可以获得展宽因子的函数形式，可以采用迭代方式的出收敛解，从而得到边界层 的数值解本章还介绍了由动量方程的积分形式得到边界层近似解的方法：设计一个简单的、同时 满足边界条件的立方抛物线，描述边界层中的速度分布这种解法尽管简单，但与由微分方 程得到的精确解相比，其差别可控制在 3%以内本章还具体给出了边界层厚度、排量厚度和动量厚度的数学表达式§6.1 相似性解：常物性和恒定自由流速度时的层流不可压缩边界层沿流线的无粘性流动的伯努利方程把压力梯度项与自由流的速度梯度项联系起来'u2、 12丿上述关系式在许多场合中有应用dP=—dpdP dun = — p u gdx g g dx写出涉及常物性、恒定自由流速度、层流不可压缩等物理条件的数学表达常物性：卩=k = const .恒定自由流：= 0dx不可压缩：上=ao层流边界层微分方程• 连续性方程apf a ga g )ap'ap uap v、—+x+ ++ao、a xay 丿ao、a xay 丿ap ap+ u + v ax ayap= + pao引入：定常、不可压缩等条件，连续性方程为 a u a v+ = 0 a x a y• 动量方程偏微分方程ap u+a(G u)+ a G u)aP a-X — +'a u、□aoa x x a y yax ayI a y丿d uaoleft = papapu au+ u +u+ p uaoaxaxa u a u「ap a g+ v+u+ax ayao a x+ uxd uaoa g+ y ayap v a u+ u + p vay axdP d2 u 。

卩 d uright = X 一 + 卩 + —dx d y2 d y d y引入：连续性方程、定常、恒定自由流、常物性、忽略体积力等条件，整理后的动量方 程（其实其中已经包含连续性方程的内容）为，d u d uu + v =d x d y边界条件为，偏微分方程y = 0 : u = 0, v = 0y t g : u T ugx = 0 : u = ug猜测：所有X位置处速度剖面几何相似，差别只在于y坐标方向上的展宽因子不同，并且这 个因子是沿平板的距离X的某个函数，其数学表述为，=f [y - g ° )]= f G)显然有：d耳=g (x)dy + ydg (x)眄 眄 d g (x ) d g (x ) d g (x ) 一 一 、， =0d x d g (x) d x " d x定义符号： f ' =俎，于是有,dx也=f = f 匹=fy 亟=f yg d x d x Qq d x Qq d xQ2 u Q/ Q u、'Qf Qq、Q(Qf ] lQq丿Qy 2 Qy

我们成功地分离了变量，并且把两个偏微分方程化解为两个常微分方程 这一结果告诉人们：相似性解的确存在§6.2 相似性解的找寻 现在寻找相似性解令常数为-k，•’ p g' p 1 dgright = =—- g 3 - g 3 dxdgg3 p丄=-处x + C2g2 p边界条件：〔y - g : U T u ；丿 g[y = 0, x = 0 : u T ug代入：u = f [y - g (x )]= f G)u = f 10 - g (0)]n g (0)T g g再代入：-^― = - k— x + C，得到：C = 02g2 p是，g(x) =盒，和 n=y -g (x )=佥显然，速度函数具有这样的形式，u=称之为相似性参数left =丄-=一 kfd 耳-=-kjn fd n + c由以下边界条件确定上始终的积分常数，n = y - g (x )= 0；u = 0, v = 0;~i= = 0.丿=0 na 2 f a(af、-g (x )=-g 2 (x)= 0 n an2将上述条件代入积分方程，f = - k J0 fd n + c = c = 0 f ' 0故而，—=-kJn fd n f ' 0为去掉积分，令g '(n)= f =丄uug g则，f = u g'g f'=u g''gf '' = u g '''g代入，08--=^~ = - k J" fd 耳=-k J" u G ' d 耳=-k J" u ~^~d 耳=-k F u d G = — ku G8G "' + ku GG '' = 0 8y = 0 : u = 0< y = 0 : v = 0 ny t 8 : u T u8这是 Blasius 方程，是常微分方程，其边界条件是G 'G = 0)=丄=0, G 'G = 1)=4 = 1 < u u88f" (" = 0)= 0 n G ''' G= 0)= 0将" = 0 结果代入常微分方程，G'”（0 ）+ ku G（0 2”（0 ）= 0 + ku G（0 2”（0 ）= ku G（0 2”（0 ）= 08 8 8已经知道关于G G ）的一阶导和三阶导已经等于零，但关于G 6 ）的所有导数在壁面（y = 0）处都等于零是不可能的，因此断定：g ”（0）工0，进而得到，G（0 ）= 0对g”' + ku GG '' = 0进行积分，并代入以下边界条件,8，G(0 )= 0G'(0 )= 0G "(0)工 0G ”'(0)= 0得到，G=J" exp0仏J exp 0J" exp0 V "0J8 exp f- ku J"gd"0 V 8 0J"0G'=—ku J"g dV 8 0丿—ku J"g dV 8 0 丿[—ku J"g d "丿 d "d"G" = jexp [一 ku f- ku J"gd"丿d"8exp0表不透壁、u =常量的层流常物性边界层的数值解8m00・40.81.21・62・02.83・64.4g00.02660.10610.2380.4200.6501.231.932.69f g00.1330.2650.3940.5170.6300.8120.9230.976g’’0.33210.3315//////0.039(o )='(0 )=” (0 )=J0exp—kuJ0dmJ0 J0exp (0 )d d0 L 0 」J00dmJgexp—kuJ0cdmJg exp (0)dm0—Jg exp (0)dmexp I 一 kuexp I 一 kuexp I 一 kuexp I 一 kucdmj d m J0 exp (0 )d mJ0■0cdmexp(0)dmcdmexp(0)J0cdmexp(0)dm=0.3321例：§6.2.3 摩阻系数①定常；②忽略体积力；③无吸入与吹出；④恒定密度；⑤恒定自由流dx局部摩阻系数：■0切应力：yx引入边界层条件：对°myxQm Qy=財’g(x )=Pu g(x)c ''(m )'' (0 )PP于是我们有局部摩阻系数的精确解，” (0)= 2g ” (0)'2 ku p 2 uX： 2 ku"(0)" (0 )0.6642\：2 ku-Re 1/2Re 1/ 2上式计算的是局部摩阻系数，可用于计算局部壁面的切应力。

如果想关心从0到x的dx■V x0.664201.3284x・2Re 1/ 2§6.3 排量厚度和动量厚度的计算第五章中曾经定义过排量厚度5和动量厚度5，但因为以下的原因而不能实际应用:12① 被积函数中的 P u 项无法知晓；② 关于“g ”的积分上限无法实现现在，已经知道，以及，d耳=g dyG)= J2 ku y xg将上述结果代入排量厚度和动量厚度的表达式，—dy g丿1-jP00Ii y x =1.73 「P u00G)J■ y x，-d n P u005 J旦2 0 P u00 00J j0Pg1 I P u丿001 —丄g ' G )Pdy1 y x 亠d nP ug平均切应力，。