分步递进分层达标—“一次函数”教学实录与反思.doc

分步递进，分层达标——“一次函数”教学实录与反思作者：张晓林作者简介：张晓林，江苏省扬州市田家炳实验中学正高级教师，江苏 省数学特级教师，江苏省人民教育家培养对象（225001）・原文出处：《中学数学月刊》（苏州）2018年第20185期 第1-5页内容提要：详细记述了 “一次函数” 一课的课前分析以及教学过程.通 过对教学实践的反思，研究者提出，“分步递进，分层达 标”是解决学生差异和提升学习信心的一种有效教学策略; 问题情境的创设，要起引导和定向作用；上好一节课要设 计合理的问题、开展合作的探究、选择合适的方式.期刊名称：《初中数学教与学》复印期号：2018年08期关键词：分步递进/分层达标/ 一次函数/教学实录标题注释：【基金项目】江苏省扬州市教育科学“十二五”规划课题 “分步递进分层达标’小班化教学的实践研究”（批准 号：G/15/P/088）的阶段性研究成果.一、基本情况2017年10月27日，江苏省扬州市教育局举办了 〃扬州市首届特级教师论 坛〃，本人参加了在梅岭中学举办的特级教师同课异构展示活动，课题为〃一次函 数”.L授课对象本次上课是借班上课，学生为梅岭中学初二（7 ）班学生,数学基本知识掌握牢 固,基本技能扎实，具有一定的观察发现、归纳概括能力和逻辑推理能力.2.教材分析所用教材为《义务教育教科书•数学（八年级上册）》（苏科版），〃6.2 —次 函数"为〃第6章一次函数”的第2节内容.由常量数学到变量数学是数学思维上的 一次飞跃，〃6.1函数"教学打开了研究变量数学之门，一次函数的教学可以进一步 帮助学生知道函数是揭示事物变化规律的有效手段，体会一次函数是研究运动变化 的数学模型，并为〃描述型"函数概念教学开启了一种模式，为学习反比例函数、 二次函数概念奠定了基础.教学目标（1）通过Stepl ~ 2经历观察、猜想，归纳出一次函数概念，体会 从特殊到一般的思想，提升合情推理、数学抽象能力；（2 ）通过Step3，能根据具 体条件确定一次函数，巩固一次函数概念的理解，体验函数是处理和解决数学问题 的有力手段；（3）通过Step4以及探索和讨论，设计情境体现一次函数，进一步 促进对一次函数概念的掌握.将本节课的知识目标按照布卢姆的教育目标分类二维框架［1］列表1如下.其中A1——辨认变量、常量；—一阐述函数概念并能举例;—一抽 象概括一次函数的概念；B4——辨别一次函数，概述一次函数与函数之间的联系；C3——运用一次函数解析式表达函数关系；D5——检查〃特殊一一般〃数学探索 思想的认知水平.教学重点在探索过程中感受从特殊到一般再到特殊的思想，感悟一次函数的本 质.教学难点观察、发现并抽象概括一次函数概念的过程.二、教学过程Stepl——先行组织，导入概念师：同学们，上节课，我们学习了函数，你能说出函数的概念吗？B层生：一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x与y ,并且对于变量x 的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是X的函数师：回答正确，请坐.那函数有几种表示方法呢？C层生：有3种，列表法、图象法还有解析式法.C层生:师：非常好，请坐.既然知道函数的三种表示方法，那就请同学们举出f 函数 并用解析式法表示,说出其中的常量、变量、自变量和函数.,其中常量是3 ,变量是x与y ,自变量是经x ,函数是y师：完全正确，请坐.数学知识是来源于我们实际生活再服务于生活的，函数也 不例外，下面我们一起来看一看这样的 f 问题.Step2一象概括，形成概念问题情境给汽车加油的加油枪流量为25 L/min如果加油前油箱里没有油，那么在加油过程中，用y ( L )表示油箱中的油量，x ( min )表示加油时间.(1) y是x的函数吗？说明你的理由.(2) y与x之间有怎样的函数表达式?(3 )如果加油前油箱里有6L油，y与x之间有怎样的函数表达式?师：哪位同学能回答第一个问题？B层生:因为对于变量x ( min )的每一个值，变量y ( L )都有唯一的值与它 对应，所以y是x的函数.师：既然变量y是x的函数，那么能用解析式法表示吗？B层生：y与x之间关系是y=25x.师：如果加油前油箱里有6L油，y与x之间又有怎样的函数表达式?A层学生：y与x之间关系是y=25x+6.师：回答正确，请坐.上一节课我们也学习了一些函数解析式：O , y=100t , g=h-105.请你观察一下这些函数解析式，小组组员之间共同探讨这3个问题：(1) 这些函数表达式中,自变量是什么? (2)这些函数表达式是关于自变量的几次式？(3) 比较这几个式子，有什么共同之处？教师给出问题后，开始巡视课堂，针对第三个问题对个别小组给予适当的提示、 点拨,让学生少走弯路,把功夫花在关键处.然后请小组同学回答小组1 :自变量分别是x , s , t和h.这些解析式中的自变量都是一次式.它们的 共同之处都是整式.小组2 :第(3)个问题我们小组讨论觉得共同之处是这些函数表达式都含有一 次项，但是有的有常数项，有的没有，小组3 :我们组认为每一个都含有一次项和常数项，常数项有的是0.师：刚才3个小组的回答应该是逐步逼近了关键处,基本反映了多数同学的想 法.小组3用文字表示出了他们的共同之处,那么具体的归纳应该如下.归纳概括一般地，形如y=kx+b ( k , b为常数，且30 )的函数叫作一次函 数.师：刚才这5个函数是一次函数,其中你觉得哪几个一次函数比较特别？为什 么？C层生:y=25x和y=100t特别一点，常数项为0 了.师：没错，我们把b=0时y叫作x的正比例函数.正比例函数是一次函数的特 例.下面请依据一次函数和正比例函数的概念，完成练一练.练一练(L1)下列函数中，y是x的一次函数的是 并说出其中的k和b.(L2 )已知函数户(m+1) x+ (I -1),当m=时”是x的一次函数；当m=时，y是x的正比例函数.在完成练习1中，学生依据一次函数的概念,并通过练习理解正比例函数是一 次函数的特殊形式，同时也能正确说出每一个一次函数中的k和b,为下节课的学 习内容做好铺垫.B层生(练习2 ):因为题目中说y是x的一次函数，所以m+1/O ,得m/-l. 在第二空中，给出y是x的正比例函数,所^0-1=0 ,得m=l.因为正比例函数也是一次函数，所以mH-1.综上所述，m=l.师：这位同学分析得非常好，也请其他同学要注意第二空中m/-l的原因，知 道它的来龙去脉，抓住函数名称特征及特点熟记T殳形式.Step3——问题解决，理解概念师：我们从实际问题中抽象概括出了一次函数的概念，那么下列的实际问题中 的函数关系是不是一次函数关系呢？例题讲解用函数表达式表示下列变化过程中两个变量之间的关系,并指出其中 的一次函数、正比例函数.(1 )正方形面积S随边长x变化而变化.(2 )正方形周长I随边长x变化而变化.(3 )长方形的长为常量a时，面积S随宽x变化而变化.(4 )高速列车以300 km/h的速度驶离A站，列车行驶路程y ( km )随行驶 时间t ( h )变化而变化.(5)如下页图1 , A , B两地相距200 km , 一列火车从B地出发以120km/h的速度驶向C站，火车离A地的路程y (km)随行驶时间t(h)变化而变化.C层学生:(1)S与x之间的函数关系式为—I, S不是x的一次函数.C层学生：(2 ) I与x之间的函数关系式为l=4x , I是x的一次函数，也是正 比例函数.C层学生：(3 ) S与x之间的函数关系式为S=ax，因为a A0 ,所以S是x的一次函数，也是正比例函数.B层学生：（4 ） y与t之间的函数关系为y=300t z y是t的一次函数，也是正 比例函数.B层学生：（5 ） y与t之间的函数关系为y=120t+200 , y是t的一次函数， 但不是正比例函数.师：同学们用函数解析式表示了实际问题中两个变量之间的关系，并运用一次 函数的概念判断了它们是不是一次函数，回答得很好，说明同学们都已经理解一次 函数的概念了.Step4——设计举例,运用概念师：班级里几十个学生的认知水平和思维能力总是存在差异的，为了保证不同 层次的学生在夯实基础的前提下都得到相应的发展，教师编选了两道开放性的练习 题.问题1小组成员互写几个一次函数的表达式，并指出其中的k和b.小组：我们写了 y=2x , k=2 , b=0 ; y=2nr+3 , k=2n z b=3 ; I I问题2请各小组设计一个用正比例函数表示的实际情境和一个用一次函数表示 的实际情境.（小组同学讨论创设情境；教师巡视）小组1 :我去超市买笔，每支笔1.5元,我买了 x支，支付费用y元与x支之 间的关系是正比例函数我去超市买笔，每支笔1.5元,我买了 x支，又买了一包口 香糖10元，支付费用y元与x支之间的关系是一次函数.小组2 :我乘出租车，前3公里8元，后来每超过1公里另付2元，我乘了 x km （ x > 3 ）,我支付费用y （元）与x （ km ）之间的关系是一次函数.师：那如果你坐的出租车3.4 km ,不够1 km怎么办？C层生：我没注意过，那出租车司机怎么收费的啊？A层生：不够lkm肯定按1 km算的.师：刚才这位同学回答是正确的，在生活中不足lkm是要按1 km算的.所以小 组2在创设的情境中要说清楚，不能让解题者抓住漏洞.不过设计的情境还是很生活 化的，很不错.Step5——当堂反馈,巩固概念请同学们独立完成当堂反馈，教师巡视，然后请同学回答，教师指正，进一步 巩固概念.Step6——课堂小结师：本节课我们研究了什么问题？我们是通过什么方法探索得到的呢？（思考 1分钟）C层生：我们学习了一次函数和正比例函数师：还有补充的吗？A层生:我们学习了一次函数和正比例函数的概念以及一般式，通过观察、归 纳得出的，通过一些题目巩固了学的内容.师：很好，请坐.我们通过生活实际中的问题抽象概括出数学中的一次函数的概 念，然后又运用一次函数的知识分析解决生活实际中的问题，经历了 "外部一内部 ―外部”的过程，这是我们以后研究函数的一种方法途径.请同学根据今天学习一次 函数和正比例函数的相关知识完成课后巩固，下一节课我们将继续探究一次函数的 其他知识点.下课!三、回顾与反思L教学设计的立意本节课的教学设计是根据〃分步递进，分层达标"教学策略设计的，遵循了〃循序渐进"〃因材施教"教学理念.新课引入，运用奥苏贝尔的〃先行组织者"学 习理论，［2］提问函数的概斜口表示方法，促进学生学习的迁移.设计开放式的问题， 举例函数并用解析式法表示并说出常量和变量，完成对旧知的回顾和新知学习的引 导作用.问题情境创设紧密联系学生生活实际，研究加油过程中油量和时间这两个变 量之间的关系，进一步体会函数模型作用，为新知学习起定向作用；通过观察、分 析、概括得出一次函数的描述性定义，并讨论b=0时的特殊情况,完善一次函数的 概念，〃练一练"巩固函数的概念.例题教学让学生辨析一次函数概念，掌握一次函 数概念的本质属性举例环节的设计是开放性的，进一步了解学生掌握概念的同时， 激发学生关注生活中的数学的兴趣，增强学生解决生活中数学问题的动力.2.教学反思(1) 分步递进，分层达标〃分步递进，分层达标”的教学策略，是在《学记》的〃循序渐进"和孔子的〃因材施教"教育思想引导下，建立在维果茨基的〃最近发展区"、奥苏贝尔的 〃先行组织者"、布卢姆的"教育目标分类学”的理论基础之上，解决学生差异和 提。