量子力学第2章-定态薛定谔方程.ppt

第二章 定态薛定鄂方程,（一）定态Schrödinger方程，定态 （二）能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质 （五）如何由定态得到一般解,（一）定态Schrödinger方程，定态,讨论有外场情况下的 Schrödinger 方程：,令：,,于是：,V(r)与t无关时，可以分离变量,,等式两边是相互无关的物理量，故应等于与 t, r 无关的常数,此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数空间波函数ψ(r)由方程,,和具体的边界条件所确定该方程称为定态 Schrödinger 方程1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数 这与数学物理方法中的本征值方程相同 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题；,（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。

常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值二）能量本征值方程,（三）求解定态问题的步骤,讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E其具体步骤如下：,,,（1）列出定态 Schrodinger方程,（2）根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得：,（3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数,（4）通过归一化确定归一化系数 Cn,（四）定态的性质,（2）几率流密度与时间无关,（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关,,4. 能量本征函数是完备的正交归一系可以证明（以后证明）,（3）处于定态时力学量（不显含时间）的期待值是常数,推论,正交归一性,薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为,其中展开系数由初始条件定,由定态波函数的正交归一性,我们来求处在,能量的期待值,我们在来看,的归一化,从上面两个式子可以看出，,具有几率的概念，当对,测量能量时，测到,的几率是,也可以说体系,是部分地处于,态，各个态出现的几率分别是,需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，,,其几率和期望值都不依赖时间，,但是一般解并不具备这个性质；,因为不同的定态具有不同的能量，在计算时,含时指数因子不能相互抵消,2.2一维无限深势阱,求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数,（1）列出各势域的 S — 方程,方程可 简化为：,,,势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示，其上的波函数分 别为ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。

则方程为：,（3）使用波函数标准条件定解,,从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0单值，成立； 2有限：当x  - ∞ ， ψ 有限条件要求 C2=02) 解方程,3连续性:在势的分界点,由波函数的连续性：,,点,,点,,由此得到,,,A和B不能同时为零,否则波函数处处为零(处处为零的波函数总是满足薛定谔方程的), 这在物理上是没有意义的.因此,我们得到两组解,(1),2.6-8,对第一种情况,我们必须有,对第二种情况,我们必须有,n=0对应于波函数恒为零的解没有意义, n等于负整数时不给出新的解. 由(2.6-5,10)体系的能量为,可以看出由无限多个能量值, 它们组成体系的分离能级,每一个能级对应一个n, 我们称n为量子数.,正整数 (2.6-11),(2),2.6-9,2.6-10,我们得到的两组波函数解,2.6-12,这两组解可以合并为一个式子,2.6-14,2.6-13,由归一化条件,求出,所以一维无限深势阱中粒子的定态波函数是,利用公式,可以将正弦波写成指数函数,由此可知,是由两个沿相反方向传播振幅相等的平面波叠加而成的驻波,波函数在势阱外时为零,即粒子被束缚在势阱内部.通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态,一般来讲,束缚态所属的能级是分立的.体系能量最低的态称为基态,一维无限深势阱中的粒子的基态是n=1的本征态.,（6）粒子的能级间隔,相邻两个能级的能量差：,相邻两个能级的能量差与势阱宽度的平方成反比。

因此，量子化现象对于空间范围很小的微观体系才显著一维无限深势阱应用举例：解释有机燃料分子（多烯烃）不同颜色的根源有机燃料分子是线性分子，电子在分子内运动是自由的，但不能跑出分子外，可以简化为电子在一维无限深势阱中运动设分子限度为2a，例如1）靛蓝，其 a大， 小，他吸收低频光，反射高频光，因此呈蓝紫色2）刚果红，其 a小， 大，他吸收高频光，反射低频光，因此呈红色三）宇称,（1）空间反射变换：空间矢量反向的操作2）此时如果有：,称波函数具有偶宇称；,称波函数具有奇宇称；,2.3 线性谐振子,（一）引言 （1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子 （二）线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论 （三）实例,（一）引言,（1）何谓谐振子,量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子在经典力学中，当质量为  的粒子，受弹性力F = - kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：,其解为 x = Asin(ω t + δ)这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则,,（2）为什么研究线性谐振子,自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。

简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的 例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示在 x = a 处，V 有一极小值V0 在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：,,,,取新坐标原点为(a,V0)，则 势可表示为标准谐振子势的形式：,可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述1）方程的建立,,线性谐振子的 Hamilton算符：,定态 Schrödinger 方程 ：,为简单起见，引入无量纲变量ξ代替x，,此式是一变系数二阶常微分方程2）求通解,为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：,其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，,1. 渐近解,欲验证解的正确性，可将其代回方程，,波函数有限性条件：,,当ξ→±∞ 时，应有 c2 = 0，,因整个波函数尚未归一化，所以c1可以令其等于1最后渐近波函数为：,ξ2 >> ± 1,其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件即： ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。

将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：,2. H(ξ)满足的方程,此方程称为 Hermite 方程3.Hermite 方程的级数解,以级数形式来求解，令：,用 k 代替 k’,由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解可分别令：,,b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).,即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ-1) = 0 从而导出系数 bk 的递推公式：,该式对任意ξ都成立，故ξ同次幂前的系数均应为零只含偶次幂项,只含奇次幂项,则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2],（3）用标准条件定解,(I)ξ=0 exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1 Heven(ξ)|ξ=0 = b0 Hodd(ξ)|ξ=0 = 0 皆有限,(II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数H(ξ)的收敛性,为此考察相邻 两项之比：,考察幂级数exp[ξ2] 的展开式的收敛性,比较二级数可知： 当ξ→±∞时， H(ξ)的 渐近行为与exp[ξ2]相同。

单值性和连续性条件自然满足，只剩下第三个有限性条件需要进行讨论因为H(ξ)是一个幂级数，故应考虑他的收敛性考虑一些特殊点， 即势场有跳跃的地方以及x=0, x → ±∞或ξ=0, ξ→±∞所以，总波函数有如下发散行为：,为了满足波函数有限性要求，幂级数 H(ξ) 必须从某一项截断变 成一个多项式换言之，要求 H(ξ) 从某一项（比如第 n 项）起 以 后各项的系数均为零，即 bn ≠ 0, bn+2 = 0.,递推关系,结论 基于波函数 在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取 分立值4）厄密多项式,从有限性条件得到 H(ξ)是多项式， 该多项式称为厄密多项式，记为Hn(ξ)， 于是，总波函数可表示为：,由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n归一化常数,Hn(ξ) 也可写成封闭形式：,λ = 2n+1,下面给出前几个厄密多项式具体表达式：H0=1；H2=4ξ2-2 ；H4 = 16ξ4-48ξ2+12 H1=2ξ；H3=8ξ3-12ξ；H5=32ξ5-160ξ3+120ξ,厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：,从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系：,应 用 实 例,例：已知 H0 = 1, H1=2ξ， 则根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2,基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系：,（5）求归一化常数,分 步 积 分,该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ2] 的 乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。

继续分步积分到底,因为Hn的最高次项 ξn的系数是2n，所以 dnHn /dξn = 2n n!则谐振子波函数为：,(I)作变量代换，因为ξ=αx， 所以dξ=αdx； (II)应用Hn(ξ)的封闭形式6）讨论,3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级 是非简并的值得注意的是，基态能量 E0={1/2}ħω ≠0，称为零点能 这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二 相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应1. 上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n所以, 当 n = 偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项； 当 n = 奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项2. ψn具有n宇称,上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称4. 波函数,然而，量子情况与此不同,对于基态，其几率密度是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2 = N02 exp[-ξ2] (1)在ξ= 0处找到粒子的几率最大； (2)在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零,与经典情况完全不同。