导数大题练习带答案.doc

1导数大题练习1．已知 f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2， (Ⅰ)对一切 x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(Ⅱ)当 a＝－1 时， 求函数 f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切 x∈(0，＋∞)，都有 lnx＋1＞exex21成立．2、已知函数2( )ln2(0)f xaxax.（Ⅰ）若曲线 y=f (x)在点 P（1，f (1)）处的切线与直线 y=x+2 垂直，求函数 y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x 都有 f (x)＞2(a―1)成立，试求 a 的取值范围；（Ⅲ）记 g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当 a=1 时，函数 g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数 b 的取值范围.3． 设函数 f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若 a=0，求函数 f (x)在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数 f (x)在1[ ,2]2上存在单调递增区间，试求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）求函数 f (x)的极值点.4、已知函数21( )(21)2ln()2f xaxaxxaR.(Ⅰ)若曲线( )yf x在1x 和3x 处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求( )f x的单调区间；(Ⅲ)设2( )2g xxx，若对任意1(0,2]x ，均存在2(0,2]x ，使得12( )()f xg x，求a的取值范围.5、已知函数 )0(2ln2axaxxf(Ⅰ)若曲线 y＝f(x)在点 P(1，f(1))处的切线与直线 y＝x＋2 垂直，求函数 y＝f(x)的 单调区间；(Ⅱ)若对于任意 ) 1(2, 0axfx有有成立，试求 a 的取值范围；(Ⅲ)记 g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当 a＝1 时，函数 g(x)在区间e ,e1上有两个零点，求实数 b 的取值范围．6、已知函数1ln( )xf xx．(1)若函数在区间1( ,)2a a (其中0a )上存在极值，求实数 a 的取值范围；(2)如果当1x 时，不等式( )1kf xx恒成立，求实数 k 的取值范围．21.解：(Ⅰ)对一切)()(),, 0(xgxfx恒成立，即2ln2xaxxx恒成立.也就是xxalnx2在), 0( x恒成立.………1 分令xxxxF2ln)( ，则F2222) 1)(2(2211)(xxx xxx xxx，……2 分在) 10( ，上F0)(x，在)1 (有上F0)(x，因此，)(xF在1x处取极小值，也是最小值，即3) 1 ()(min FxF，所以3a.……4 分(Ⅱ)当时，1axxxxfln)(，f 2ln)(xx，由f 0)(x得21 ex . ………6 分①当210em 时，在)1,[2emx上f 0)(x，在]3,1(2mex上f 0)(x因此，)(xf在21 ex 处取得极小值，也是最小值. 2min1)(exf.由于0] 1) 3)[ln(3() 3(, 0)(mmmfmf因此，] 1)3)[ln(3()3()(maxmmmfxf………8 分②当时21 em ，0)( 'xf，因此] 3,[)(mmxf在上单调递增，所以) 1(ln)()(minmmmfxf，] 1)3)[ln(3()3()(maxmmmfxf……9 分(Ⅲ)证明：问题等价于证明)), 0((2lnxeexxxxx,………10 分 由(Ⅱ)知1a时，xxxxfln)(的最小值是21 e，当且仅当21 ex 时取3得，……11 分设)), 0((2)(xeexxGx，则Gxexx1)(，易知eGxG1) 1 ()(max，当且仅当1x 时取到， ………12 分但有ee112从而可知对一切(0,)x，都有exexx211ln成立. ………13 分2、解：（Ⅰ）直线y=x+2 的斜率为 1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为22'( )afxxx ，所以22'(1)111af  ，所以a=1.所以2( )ln2f xxx. 22'( )xfxx.由'( )0fx 解得x＞0；由'( )0fx 解得 0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）.…… 4 分（Ⅱ）2222'( )aaxfxxxx ， 由'( )0fx 解得2xa；由'( )0fx 解得20xa.所以 f (x)在区间2(,)a上单调递增，在区间2(0,)a上单调递减.所以当2xa时，函数 f (x)取得最小值，min2( )yfa. 因为对于(0,)x 都有( )2(1)f xa成立，所以2( )2(1)faa即可. 则22ln22(1)2aaa a.由2lnaaa解得20ea.所以 a 的取值范围是2(0, )e.……………… 8 分（Ⅲ）依题得2( )ln2g xxxbx，则222'( )xxg xx.由'( )0g x 解得x＞1；由'( )0g x 解得 0＜x＜1.所以函数( )g x在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数( )g x在区间[e－1，e]上有两个零点，所以1()0 ( )0 (1)0g e g e g  .解得21e 1eb .所以 b 的取值范围是2(1,e 1]e .……………… 13分43．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）.……………… 1 分因为1'( )20fxxx，所以 f (x)在[1，e]上是增函数，当 x=1 时，f (x)取得最小值 f (1)=1. 所以 f (x)在[1，e]上的最小值为 1.……………… 3 分（Ⅱ）解法一：21221'( )2()xaxfxxaxx设 g (x)=2x2―2ax+1，……………… 4 分依题意，在区间1[ ,2]2上存在子区间使得不等式 g (x)＞0 成立.…… 5 分注意到抛物线 g (x)=2x2―2ax+1 开口向上，所以只要 g (2)＞0，或1( )02g即可……………… 6 分由 g (2)＞0，即 8―4a+1＞0，得9 4a ，由1( )02g，即1102a ，得3 2a ，所以9 4a ，所以实数 a 的取值范围是9(, )4.……………… 8 分解法二：21221'( )2()xaxfxxaxx，……………… 4 分依题意得，在区间1[ ,2]2上存在子区间使不等式 2x2―2ax+1＞0 成立.又因为 x＞0，所以12(2)axx.……………… 5 分设1( )2g xxx，所以 2a 小于函数 g (x)在区间1[ ,2]2的最大值.又因为1'( )2g xx，由21'( )20g xx解得2 2x ；由21'( )20g xx解得202x.所以函数 g (x)在区间2(,2)2上递增，在区间12( ,)22上递减.所以函数 g (x)在1 2x ，或 x=2 处取得最大值.5又9(2)2g，1( )32g，所以922a ，9 4a 所以实数 a 的取值范围是9(, )4.……………… 8 分（Ⅲ）因为2221'( )xaxfxx，令 h (x)=2x2―2ax+1①显然，当 a≤0 时，在（0，+∞）上 h (x)＞0 恒成立，f '(x)＞0，此时函数 f (x)没有 极值点；……………… 9 分 ②当 a＞0 时，（i）当 Δ≤0，即02a时，在（0，+∞）上 h (x)≥0 恒成立，这时 f '(x)≥0，此时，函数 f (x)没有极值点；……………… 10 分（ii）当 Δ＞0 时，即2a 时，易知，当2222 22aaaax时，h (x)＜0，这时 f '(x)＜0；当2202aax或22 2aax时，h (x)＞0，这时 f '(x)＞0；所以，当2a 时，22 2aax是函数 f (x)的极大值点；22 2aax是函数 f (x)的极小值点.……………… 12 分综上，当2a 时，函数 f (x)没有极值点；当2a 时，22 2aax是函数 f (x)的极大值点；22 2aax是函数 f (x)的极小值点.4．解：2( )(21)fxaxax(0)x . ………1 分(Ⅰ)(1)(3)ff，解得2 3a . ………3 分(Ⅱ)(1)(2)( )axxfxx(0)x . ………4 分①当0a 时，0x ，10ax ，在区间(0,2)上，( )0fx；在区间(2,)上( )0fx，故( )f x的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,). ………5 分②当102a时，12a，6在区间(0,2)和1(,)a上，( )0fx；在区间1(2,)a上( )0fx，故( )f x的单调递增区间是(0,2)和1(,)a，单调递减区间是1(2,)a. ………6 分③当1 2a 时，2(2)( )2xfxx，故( )f x的单调递增区间是(0,). ………7 分④当1 2a 时，102a，在区间1(0,)a和(2,)上，( )0fx；在区间1(,2)a上( )0fx，故( )f x的单调递增区间是1(0,)a和(2,)，单调递减区间是1(,2)a. ………8 分(Ⅲ)由已知，在(0,2]上有maxmax( )( )f xg x. ………9 分由已知，max( )0g x，由(Ⅱ)可知，①当1 2a 时，( )f x在(0,2]上单调递增，故max( )(2)22(21)2ln2222ln2f xfaaa ，所以，222ln20a，解得ln2 1a ，故1ln2 12a .……10 分②当1 2a 时，( )f x在1(0,]a上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max11( )( )22ln2f xfaaa  .由1 2a 可知11lnlnln12ea  ，2ln2a  ，2ln2a，所以，22ln0a ，max( )0f x，综上所述，ln2 1a . ………12 分5、(Ⅰ)直线 y＝x＋2 的斜率为 1， 函数 f(x)的定义域为 , 0因为xa xxf2'2)(，所以111212'af，所以 a＝1所以  2'2, 2ln2 xxxfxxxf由 0'xf解得 x＞2 ； 由 0'xf解得 0＜x＜27所以 f(x)得单调增区间是, 2，单调减区间是2 , 0 ………4 分(Ⅱ)22'22)(xax xa xxf由 0'xf解得;2 ax 由 0'xf解得ax20所以 f(x)在区间),2(a上单调递增，在区间)2, 0(a上单调递减所以当ax2时，函数 f(x)取得最小值)2(minafy因为对于任意 ) 1(2, 0axfx有有成立，所以) 1(2)2(aaf即可则) 1(222ln22aaaa，由aaa2ln解得ea20所以 a 得取值范围是)2, 0(e……… 8 分(Ⅲ)依题意得bxxxg2ln2)(，则22 '2)(xxxxg由 0'xg解。