数学物理方程ch.3-4复习资料.pdf

第三章 调和方程 1.什么叫调和方程？ 答：叫 n 维调和方程 1 12 2+ n nx xx xx xuuu++=……02.举出调和函数的例子，并说明它的物理意义 例： 22211( , , )x y zrxyzϕ== ++它除了点0r =以外，是3R中的调和函数 物理意义： （P69）引力场的势，静电场的电势等 3.调和方程有哪几种定解条件？为什么没有初始条件？ 答：有四种边界条件： （P70） （内问题、外问题） ①狄利克雷内问题 ②诺伊曼内问题 ③狄利克雷外问题 ④诺伊曼外问题 因为方程与时间无关，所以没有初始条件 4.对于 Dirichlet 外问题，或 Neumann 外问题，为什么要附加条件？ lim ( , , )0 ru x y z →∞=答:若无此条件,则解可能不唯一. 例如: 与11u =21ur= 都满足 0xxyyzzuuu++= 2221xyz++> 2221|1xyzu++== 5.平均值定理的内容是什么？并证明之 答： （P77） （平均值公式） ：设函数在某区域()u MΩ内调和，0M是中的任一点则对以Ω0M为中心，a为半径完全落在区域Ω的内部的球面aΓ，成立021()4au MudsaπΓ=∫∫证明过程：P77 6.极值原理的内容是什么？ 答： （P77） （极值原理） ：对不恒等于常数的调和函数，其在区域的任何内点上的值不可能达到它在( , , )u x y zΩΩ上的上界或下界。

7.三维区域上的格林函数是：001(,)4M MGg Mrπ=−M 格林函数的物理意义： （P81-82）格林函数在静电学中有明显的物理意义设在点0M处置一单位点电荷，那么它在自由空间所产生的静电场的电位为01 4M Mrπ如果在0M点的点电荷包围在一个封闭的导电面内，而这个导电面又是接地的，此时在导电面内的电位就可以用格林函数001(,)4M MG来表示，它在导电面上恒等于零，而函数正好表示导电面上感应电荷所产生的电位 g M Mrπ=−0(,)g M M−8.三维空间中，半径为 R 的球上的格林函数是？ 答： （P82）000 0111(,)()4M MM MRG M Mrrπρ=− 9.球2222xyzR++ |0u222xya+==解：为所求 222()uxya= −+−13.举例说明，对方程（） ，不成立极值原理 0xxyyuucu++=0c >解：设区域2c =(0, ) (0, )ππΩ =×且设1( , )sin sin2u x， yxy=于是 0xxyyuuu++=( , )x y ∈Ω 并且 [注：表示|u∂Ω= 0∂ΩΩ的边界] 但是在Ω中的( , )u x y(,)2 2π π处取值：1(,)2 22uπ π=， 即 在中取到上的最大值所以，极值原理不成立。

uΩ− Ω14.利用能量积分法证明：泊松方程 Dirichlet 内问题的解是唯一的；Neumann 内问题的解在允许相差一个任意常数的意义下是唯一的 证明：对于泊松方程 ( , , )uf x y zΔ = ( , , )x y z ∈Ω Dirichlet 内问题： u|( , ,r)x y zφ= 如果它有两个解和，记uu1( , , )u x y z2( , , )ux y z21u=− 于是，有 Δ = 0u( , , )x y z ∈Ω |0u r=作 222( )[()()() ]xyzE uuuudxdydz Ω=++∫∫∫于是： ( )[()()()]xxyyzzE uuuuuuuu u dxdydz Ω=++− Δ∫∫∫[()()() ]xxyyzzuuuuuudxdydz Ω=++∫∫∫=uudsnΓ∂ ∂∫∫最后一个等式的成立是应用了O—G公式，因为，所以|0ru =( )0E u =从而或者0xyzuuu===12uuc−= 又因为，所以12()|uuΓ−= 00c = 得 12uu=Neumann内问题解的唯一性，仿照上面的步骤 15.设u在区域Ω中调和，试证明哈那克不等式（即3.21） 。

证明：P88的推导过程 16.（P91 习题 12）证明处处满足平均值公式（2.11）的连续函数一定是调和函数 证明：u是连续函数对于任意的,0Ω∈M以0M为球心，ε为半径作球Kε， 使其完全落在Ω内，在Kε内求解Dirichlet问题： 0vΔ = Kε内 ||Kvu εεΓ= 由泊松公式知存在唯一解v，所以，v是Kε内调和函数所以对于v成立平均值公式由条件，u亦成立平均值公式，故u M，由00()()v M=0M的任意性即得，在内成立uΩv=所以u在Ω中调和 17.（P74 习题 6）用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板(0,0xau≤≤≤≤ b)上的稳定温度分布： 22220uu xy∂∂+=∂∂（1.29） (0, )( , )0uyu a y==( ,0)sinxu xaπ=， ( , )0u x b =解：令u x代入（1.29）的第一式得( , )( ) ( )yX x Y y=( )X x，Y y分别满足： ( )( )( )0XxX xλ′′+= （1.30） (0)( )0XX a==及 ( )( )0YyY yλ′′−= （1.31） 由第一章讨论知， （1.30）仅当0λ>时有非零解 2()kk aπλλ== （1,2k =…） （1.32） ( )sinkkk xXxAaπ= （1.33） 将（1.32）式代入（1.31）式得：( )kkyy kkkYyC eC eλλ−′′′=+ 故（1.29）的解为：1( , )()sinkkyyaa kk kku x yA eB exaπππ∞−==+∑（1.34） 由边界条件得1()sinsinkk kkxABxaaππ∞=+=∑故 （1.35） 111AB+=AB （0kk+=1k ≠） 又1()sink bk b aa kk kkA eB exaπππ∞−=0+=∑0k bk b aa kkA eB eππ−+= （1,2k =…） （1.36） 联立（1.35）及（1.36）解得： 1211b aA eπ−= −212 21bb aab aeeBbsheaππππ−−−−−== −（0kkAB==1k ≠） 将（1.37）代入解的表达式（1.34）得： 22()sin ( , )()sin 1byyaaa b axbshy xaau x yeebasheaππππππ π π−−=+= −⋅u=218.调和函数的极值原理与热传导方程的极值原理的差别是什么？ 答：设函数u在中满足热传导方程ua，u在1Ω2 txxΩ中满足调和方程0ttxxuu+=则：在Ω中的最大值不大于它在1u− Ω的边界∂Ω上的最大值； u在Ω中的最小值不小于它在1− Ω的边界∂Ω上的最小值。

但是对于，若u，则在2u2c≠2uΩ中的任一点的值必小于在上的最大值，在中任一点的值必大于它在2u∂Ω2uΩ∂Ω上的最小值 19证明：调和方程的Neumann外问题的解是稳定的 证：设是 iu0iuΔ= 3( , , )x y zR∈−Ω |i iufnΓ∂ ∂= 222lim( , , )0ixyzu x y z ++→∞= 的解作Vu，则记12u=−12fff−= Δ= ( ,Δ= ( ,0V3−Ω , )x y zR3, )x y zR∈|( , , )iu|f x y znΓΓ∂ ∂= 222lim( , , )0 xyzV x y z ++→∞= 设0ε∃ >，使得|( , , )|f x y zε ( , , )max ||rx y zSfε ∈00y)点为双曲型的； x若（2），称方程在(,0Δ Ω中为双曲型的； 若在中每点都有，称方程在Ω0Δ <Ω中为椭圆型的； 若在中每点都有，称方程在Ω0Δ =Ω中为抛物型的 2.三类方程的标准形式是什么？ 答：详见P98—P99（1.11）和（1.12） ； （1.13）和（1.14） ； （1.17） 。

3.对三类方程各举一例 自己从前三章所学内容寻找 4.化下列方程为标准形式并进行分类 （1） 452xxxyyyxyuuuuu++++=0解：故方程是椭圆型的 22510Δ =−= − <2,2,2dyi dydxidx yxixcdx=±=±−±= 令2yxξ=−，xη= 得 2xuuuξη= −+， ξuuy=2xyuuuξξη= −+ξ，44xxuuuuξξξη=−+ηη ξξuuyy=∴原方程化为 0uuuξξηηη++=（2） 2220xxxyyyx uxyuy u++=解：故方程是抛物型的 22220x yx yΔ =−=得dyy dxx=，( , )yx yxφ= 令y xξ=，yη= 得 20uηηη=5.举出叠加原理适用与不适用的方程的例子 （自举） 6.前三章所学的三类方程，在数学形式上有何相同之处？有何不同之处？在物理学方面有何不同之处？在求解方法方面有何相同之处， 有何不同之处在定解条件的提法方面有何相同之处，有何不同之处？在解的光滑性、解的极值原理、解的影响区域和依赖区域方面有何相同之处和不同之处。