2015年高考理科数学试题分类解析之专题六数列.doc

专题六 数列试题部分1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）A、-1 B、0 C、1 D、62.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）A．6 B．7 C．8 D．93.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .6.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．7.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= .8.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．9.【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为 10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分） 设是各项为正数且公差为d的等差数列 （1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.11.【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.12.【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知. （I）求的通项公式； （II）若数列满足，求的前n项和.13. 【2015高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记，证明.14.【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列满足，且成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设，求数列的前项和.15.【2015高考重庆，理22】在数列中，（1）若求数列的通项公式； （2）若证明：16.【2015高考四川，理16】设数列的前项和，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.17.【2015高考湖北，理18】设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和． 18.【2015高考陕西，理21】（本小题满分12分）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．19.【2015高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.20.【2015高考广东，理21】数列满足， (1) 求的值； (2) 求数列前项和；(3) 令，，证明：数列的前项和满足．21.【2015高考上海，理22】已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.参考答案1.【答案】B由等差数列的性质得，选B.2.【答案】D由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．3.【答案】C先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，选C.4.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 4.【答案】B.5.【答案】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和.6.【答案】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．7.【答案】．因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．8.【答案】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．9.【答案】10【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在【解析】（1）证明：因为（，，）是同一个常数，所以，，，依次构成等比数列．（2）令，则，，，分别为，，，（，，）．假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，则，且．令，则，且（，），化简得（），且．将代入（）式，，则．显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，则，且．分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），则，且．将上述两个等式两边取对数，得，且．化简得，且．令，则．由，，知，，，在和上均单调．故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．11.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.（1）由题意得，，即，，由得，由得，，即；（2）由题意得，∴①，由和得，，∴，因此②，由①②得.12.【答案】（I）; （II）.所以 当 时， 所以两式相减，得 所以经检验， 时也适合，综上可得： 13.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）解：，曲线在点处的切线斜率为. 从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标. （Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知 . 当时，. 当时，因为， 所以. 综上可得对任意的，均有.14【答案】(I) ; (II) . (II) 由(I)得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整理得 所以数列的前项和为.15.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由于，因此把已知等式具体化得，显然由于，则（否则会得出），从而，所以是等比数列，由其通项公式可得结论；（2）本小题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是可变形为,由于，因此，于是可得，即有，又，于是有，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知，因此，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.(1)由,有若存在某个，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意,.从而，即是一个公比的等比数列.故.求和得另一方面，由上已证的不等式知得综上：16【答案】（1）；（2）10.【解析】（1）由已知，有，即.从而.又因为成等差数列，即.所以，解得.所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.（2）由（1）得.所以.由，得，即.因为，所以.于是，使成立的n的最小值为10.17.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.. ②①-②可得，故. 18【答案】（I）证明见解析；（II）当时， ，当时，，证明见解析．【解析】（I），则所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故.(II)解法一：由题设，所以，即.综上所述，当时, ；当时解法二 由题设，当时, 当时, 用数学归纳法可以证明.当时, 所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，.又令，则所以当,,在上递减；当,,在上递增.所以，从而故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，所以,令当时, ,所以.当时, 而，所以，.若，，，当，，，从而在上递减，在上递增.所以，所以当又，，故综上所述，当时，；当时.19.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）所以=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，所以数列{}前n项和为= =.20【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】（1）依题，∴ ；（2）依题当时，，∴ ，又也适合此式，∴ ，∴ 数列是首项为，公比为的等比数列，故；（3）依题由知，，，21.【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】解：（1）由，得，所以是首项为，公差为的等差数列，故的通项公式为，.证明：（2）由，得.所以为常数列，，即.因为，，所以，即.故的第项是最大项.解：（3）因为，所以，当时， .当时，，符合上式.所以.因为，所以，.①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；②当时，的最大值为，最小值为，而；③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.综上，的取值范围是.。