几何模型：一线三等角模型.docx

初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个 角可以是直角，也可以是锐角或钝角不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等， 以下称为“一线三等角”一线三等角的分类】2. 1全等篇—同侧锐角D直角2. 2全等篇—异侧BDCcAB钝角2. 3相似篇—同侧D锐角 直角2. 4相似篇—异侧DD钝角三、【性质】1•相似，如图 3-1，由Z1=Z2=Z3,或者 a 二 a = a 易得△ AEC^^BDE.232•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等•如下图，若CE=ED，则△ AEC今ABDE •异侧结果同样3. 中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟图42如图 3-2，当Z1=Z2=Z3,且 D 是 BC 中点时，△BDEs^cfDs^dfE.4. “中点型一线三等角“的变式（了解）如图3-3，当Z1=Z2且zboc = 901 zbac时，点O是厶ABC的内心•可以考虑构造“一线三等角” 25. “一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5四、【“一线三等角”的应用】1. 应用的三种情况.a. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b. 图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题;c. 图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时 我经常构造“一线三等角”来解题./JI图3-62. 适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤：找角、定线、构相似引例】例1如图，11、12、13是同一平面内的三条平行线，l、l之间的距离是21/5, 12、13之间的距离是21/10,12等边△ ABC的三个顶点分别在1、1、1上，求△ ABC的边长.123思路引导：【脑洞大开-三角构造】例 1 如图，四边形 ABCD 中，ZABC二ZBAD=90°,ZACD=45°, AB=3, AD=5.求 BC 的长.横向构造 ;纵向构造 ; 斜向构造斜 A 相似构造：例 2 如图，AABC 中，ZBAC=45°, AD丄BC, BD=2, CD=3,求 AD 的长.纵向横向斜向一线三垂直的补形：角含半角补形练一练：思路提示：【中点型一线三等角】例1、如图，在Rt/ABC中，AB = AC =2 ZA = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放 在BC中点O处，三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，ZBOE = a( 45° W a W 90°)・(1) 试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2) 试判断ZBEO与ZOEF的大小关系？并说明理由；(3) 在三角板绕O点旋转的过程中，/OEF能否成为等腰三角形？若能，求出对应x 的值； 若不能，请说明理由．例2.如图，AABC和ADEF是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90 , △DEF的顶点已与厶ABC的斜 边BC的中点重合。

将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA 相交于点 Q.⑴如图①，当点Q段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE^^CQE；⑵如图②，当点Q段CA的延长线上时，求证:△BPE-^CEQ；并求当BP=a, CQ=9a/2时,P、Q两点间的 距离 （用含 a 的代数式表示）.oE8CES图①图②【小题精炼（4 题）】1.如图，AABC 中，ZB=90°,ZCAD=45°, AB=3,CD=5,求 BD 的长2.如图，在四边形ABCD中，ZBAD二ZACB二ZACD=45°, AC=4,求厶BCD的周长3.如图，在 RTAABC 中，ZACB=30°, DA 平分ZCAB,若ZCDB=60°, CA=4 V 3，求 AD 的长反比例函数y k的图像交边AB、BC于D、x4.矩形ABCD在直角坐标系的位置如图所示，点a（2皿0）,点c（o,5）E 两点，且ZD0E=45°，则 k二【一线三等角在中考压轴题中的应用】例1：如图，直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点(A在B的左侧)，BC=2AC, 点 P 是抛物线上一点．(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；(3) 若点P在直线AB的上方，且ZBPC=45°，求所有满足条件的点P的坐标.例2：等边△ ABC边长为6, P为BC边上一点，ZMPN=60。

且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.(1) 如图1，当点P为BC的三等分点，且PE丄AB时，判断AEPF的形状；(2) 如图2,若点P在BC边上运动，且保持PE丄AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数 关系式，并写出自变量x的取值范围；(3) 如图3,若点P在BC边上运动，且ZMPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.例3：如图1,已知直线y二kx与抛物线 y =-春x2 +午交于点A（3, 6）.（1） 求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2） 点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M （点M、O不重合），交直线OA 于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定 值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；（3） 如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E段OA上（与点O、A不重 合），点D （m, 0）是x轴正半轴上的动点，且满足ZBAE=ZBED=ZAOD.继续探 究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？图i图2例4•如图，直线AC： y=—2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c(a〉0)过A、 C两点，与x轴交于另一点B (B在A的右侧)，且△OBCs^OCA.(1) 求抛物线的解析式；(2) 点D为抛物线上一点，ZDCA=45°，求点D的坐标；备用图【思路拓展】1.如图，在△ ABC中，ZC=90°,ZB=30°, AC=4,D为AC的中点，若△ DEF为正三角形，求CF的长。

2•如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD 上, △EFG为等边三角形，求证：BE+GC二舅BC【知识点总结】一线三等角构造口诀一线三等角，补形最重要内构勤思考，外构更精妙 找出相似形，比例不能少 巧设未知数，妙解方程好。