232《线面垂直、面面垂直的性质定理》教学设计（人教A版必修2）.doc

金太阳新课标资源网 2.3.2 《线面垂直、面面垂直的性质定理》教学设计【教学目标】（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系导入新课】问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？新授课阶段1. 线面垂直的性质定理观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？C1D1ab A1B1αDC观察得到：线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行例1如图1，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝21)证明：AP⊥BC；(2)段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

图1(1)证明：由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD故BC⊥PA2)如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连接CM，由(1)中知AP⊥BC，得AP⊥平面BMC又AP⊂平面APC，所以平面BMC⊥平面APC在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得AB＝.在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2，在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2，所以PB2＝PO2＋OD2＋DB2＝36，得PB＝6，在Rt△POA中，PA2＝AO2＋OP2＝25，得PA＝5，又cos∠BPA＝＝，从而PM＝PBcos∠BPA＝2，所以AM＝PA－PM＝3综上所述，存在点M符合题意，AM＝32. 面面垂直的性质定理观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？（答：直线a必在平面α内）例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2.(1)求证：BD⊥平面PAD；(2)求三棱锥A－PCD的体积．(1)证明：在△ABD中，∵AD＝2，BD＝4，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.(2)过P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO＝.由(1)知，AD⊥BD，在Rt△ABD中，斜边上的高为h＝＝.∵AB∥DC，∴S△ACD＝CD·h＝××＝2.∴VA－PCD＝VP－ACD＝S△ACD·PO＝×2×＝.课堂小结作业拓展提升1．已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直．则p是q的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．[2012·温州十校联考] 若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是(　　)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥β，α∥β，则m∥αD．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。

其中，为真命题的是(　　)A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④4．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为________已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)7．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是________参考答案1．B　[解析] 由线面垂直的定义，知q⇒p；反之，直线a与平面α内无数条直线垂直，则直线a与平面α不一定垂直，故选B.2．B　[解析] B选项为直线与平面垂直的判定方法：若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．3．D　[解析] 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．4．60°　[解析] 翻折后，原三角形的三个顶点构成等边三角形．5．2　[解析] 对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m⊂平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.6．DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[解析] 连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，则BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.7．①②③　[解析] 由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°，③也正确．第 6 页 共 6 页 金太阳新课标资源网 。