数学建模简单13个例子.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）,今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？,问题,圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为vV和 nv 哪个大?,S,s,s,s,…,V,v,v,v,(共n个),1、从包汤圆（饺子）,,定性分析,V比 nv大多少?,定量分析,,假设,1. 皮的厚度一样,2. 汤圆(饺子) 的形状一样,模型,应用,若100个汤圆（饺子）包1公斤馅,,,则50个汤圆(饺子) 可以包 公斤馅,R,~,大皮 的半径；,r,~,小皮的半径,V是 nv是 倍,1.4,返回,,问题杀羊方案,,现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，,,问各天分别杀几只？,分析：,1). 这是一个有限问题，解决此类问题的一,,类方法是枚举，你可以试试2). 依题意，设第,天杀,只，,则所提问题变为在自然数集上求解方程,于是，我们有了该问题的数学语言表达——数学模型,求解：,建模：,用反证法容易证明本问题的解不存在。

2、杀羊方案,返回,,某人平时下班总是按预定时间到达某处，然,,然后他妻子开车接他回家有一天，他比平时提早,,了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他,,的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他,,比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时,,间？,,似乎条件不够哦 换一种想法，问题就迎刃而解了假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了提前的十分钟时间从何而来？,,,显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟3、相遇问题,,,某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的同—地点，为什么?,,解法一：,,将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。

4、爬山问题,,,解法二：　以时间t为横坐标，以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程x为纵坐标，从山下到山顶的总路程为d;,,严格的数学论证：,令,,思考题：有一边界形状任意的蛋糕，兄妹俩都想吃，妹妹指着蛋糕上的一点P，让哥哥过点P切开一人一半，能办到吗?,返回,,在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知现在工人师傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻如何测量出这三根电线的电阻?,5、测量电阻,,,由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根电线的电阻说明：此问题的难点也是可贵之处是用方程“观点”、”立场”去分析，用活的数学思想使实际问题转到新创设的情景中去返回,,37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束问共需进行多少场比赛？,一般思维,：,逆向思维：,,每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即,,就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场6,、比赛场次,返回,,,在气象台A的正西方向300 km处有一台风中心，它以40 km/h的速度向东北方向移动；根据台风的强度，在距其中心250 km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象台所在地区将遭受台风的影响?持续时间多长?,,,此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象预报，现建立解析几何模型加以探讨。

以气象台A为坐标原点建立平而直角坐标系，设台风中心为B，如图,7、气象预报问题,,,根据题意，A点的坐标为(-300，0)，单位为km．台风中心的运动轨迹为直线BC，这里的∠CBA＝45,0,，当台风中心在运动过程中处于以A为圆心、半径为250 km的圆内(即MN上)时，气象台A所在地区将遭受台风的影响因为圆的方程为：,直线BC的方程为：,其中参数t为时间(单位为h)当台风中心处于圆内时，有：,解得,所以，大约在2h以后气象台A所在地区将会遭受台风的影响，持续时间大约为6．6h交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯请分析黄灯应当亮多久设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L这就是说，在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路D,L,8、黄灯应当亮多久,,马,路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。

　L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v*t1刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来,,黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车第二步，黄灯亮的时间应当让已过线,,的车顺利穿过马路，,,即T 至少应当达到 （L+D）/vD,L,返回,,,将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导,Z,n,(,n,－1),n,(,n,＋1),由第,n,块砖受到的两个力的力矩相等，有：,,1/2-,Z,n,= (,n,－1),Z,n,,故,Z,n,=1/(2,n,)，从而上面 n块砖向右推出的总距离为 ，,,,,故砖块向右可叠至 任意远 ，这一结果多少,,有点出人意料9、砖块延伸,返回,,飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。

为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度10、寻找黑匣子,,方法一,点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源,,的距离的平方成反比，即,,黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为,I,1,和,I,2,，两测量点间的距离为,a,，则有,,方法二,在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在,A,点测得黑匣子方向后 ，到,B,点再测方向 ，,AB,距离为,a,，∠,BAC,=,α,，∠,ABC,=,β,，利用正弦定理得出,d,=,a,sin,α,/sin (,α,+,β,) 需要指出的是，当黑匣子位于较远处而,α,又较小时，,α,+,β,可能非常接近,π,（∠,ACB,接近于0），而sin（,α,+,β,）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使,a,也相对较大。

B,A,C,a,α,β,返回,,,11、 舰艇的会合,,某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合令：,则上式可简记成 ：,A(0,,b,),X,Y,B(0,-,b,),P(x,y),O,航母,护卫舰,,θ,1,,θ,2,,即：,可化为：,记,v,2,/,v,1,=,a,通常,a,>1,,则,汇合点 p必位于此圆上护卫舰的路线方程）,（航母的路线方程 ）,,即可求出P点的坐标和,θ,2,的值本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用,,返回,,12、价格竞争,,问题：两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈．一天，甲加油站推出“降价销售”吸引顾客．结果造成乙加油站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利．利润是受销价和销售量的影响和控制．他们为了挽回损失采取对策，决定也降低销售价以争取顾客．乙加油站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润．,分析：在这场“价格战”中，我们将站在乙加油站的立场上为其制定价格对策．因此需要组建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙加油站销售量的变化情况．,,为描述价格和汽油销售量之间的关系，我们引入如下一些指标：,,影响乙加油站汽油销售量的因素,,(1)甲加油站汽油降价的幅度；,,(2)乙加油站汽油降价的幅度；,,(3)两站之间汽油销售价格之差．,,,在这场“价格战”中，我们假设汽油的正常销售价格保持定常不变，并且假定,以上各因素对乙加油站汽油销售量的影响是线性的．,于是乙加油站的汽油销售量可以由下式给出,,返回,,13、遗传模型,,1．问题分析,,,所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型.,,如果所考虑的遗传特征是由两个基因,A,和,B,控制的，那么就有三种可能的基因型：,AA，AB,和,BB,.,,例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它开花的颜色，,AA,型开,红,花，,AB,型的开,粉,花，而,BB,型的开,白,花.,,这里的,AA,型和,AB,型表示了同一外部特征(红色)，则人们认为基因,A,支配基因,B,，也说成基因,B,对于,A,是隐性的.,,当一个亲体的基因型为,AB,，另一个亲体的基因型为,BB,，那么后代便可从,BB,型中得到基因,B,，从,AB,型中得到,A,或,B,，且是等可能性地得到.,,,问题,：某植物园中一种植物的基因型为,AA，AB,和,BB,.,,现计划采用,AA型植物,与,每种基因型植物,相结合的方案培育植物后代。

试预测，若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况.,,2．模型假设,,（1）按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因,A,或,B,是等可能的,即有双亲基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率分布情况如表,下一代基因型（,n,代）,上一代父-母基因型（,n,-1代）,,,,,,,AA-AA,AA-AB,AA-BB,AB-AB,AB-BB,BB-BB,AA,1,1/2,0,1/4,0,0,AB,0,1/2,1,1/2,1/2,0,BB,0,0,0,1/4,1/2,1,,,,3．模型建立,注意到原问题是采用,AA,型与每种基因型相结合，因此这里只考虑遗传分布表的前三列.,下一代基因型（,n,代）,上一代父-母基因型（,n,-1代）,,,,,,,AA-AA,AA-AB,AA-BB,AB-AB,AB-BB,BB-BB,AA,1,1/2,0,1/4,0,0,AB,0,1/2,1,1/2,1/2,0,BB,0,0,0,1/4,1/2,1,首先考虑第,n,代中的,AA,型,即第,n-,1代的,AA,与,AA,型结合全部进入第n代的,AA,型，第,n,-1代的,AB,型与,AA,型结合只有一半进入第,n,代,AA,型，第,n,-1代的,BB,型与,AA,型结合没有一个成为,AA,型而进入第,n,代,AA,型,,下一代基因型（,n,代）,上一代父-母基因型（,n,-1代）,,,,,,,AA-AA,AA-AB,AA-BB,AB-AB,AB-BB,BB-BB,AA,1,1/2,0,1/4,0,0,AB,0,1/2,1,1/2,1/2,0,BB,0,0,0,1/4,1/2,1,按上表所给数据，第,n,代,AA,型所占百分率为,故有,同理，第,n,代的,AB,型和,BB,型所占有比率分别为,将三式联立，并用矩阵形式表示，得到,,,其中,进行递推，便可获得第,n,代基因型分布的数学模型,,4．模型求解,,分别为,故有,即得,,于是,或写为,,5．模型分析,,（1）完全类似地，可以选用,AB,型和,BB,型植物与每一个其它基因型植物相结合从而给出类似的结果.特别是将具有相同基因植物相结合，并利用前表的第1、4、6列数据使用类似模型及解法而得到以下结果：,这就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情形下，后代仅具有基因,AA,与,BB,，而,AB,消失了.,,（2）本例巧妙地利用了矩阵来表示概率分布，从而充分利用特征值与特征向量，通过对角化方法解决了矩阵,n,次幂的计算问题，可算得上高等代数方法应用于解决实际的一个范例.,,返回,,。