第8讲镜像法ppt课件.ppt

第八讲第八讲 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子工程学院电子工程学院 陈其科陈其科第八讲第八讲 镜像法镜像法第八讲第八讲 镜像法镜像法•镜像法的基本原理镜像法的基本原理•接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像•导体球面的镜像导体球面的镜像•导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像•点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像•线电流线电流与无限大磁介质平面的镜像与无限大磁介质平面的镜像　　本讲内容本讲内容第八讲第八讲 镜像法镜像法几个实例：几个实例： 非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，，可可以以用用等等效效点电荷点电荷产生的电位替代产生的电位替代 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 问题的提出问题的提出q ′q′非均匀感应面电荷非均匀感应面电荷等效电荷等效电荷第八讲第八讲 镜像法镜像法 镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用几个实例：几个实例： 问题的提出问题的提出 接地导体球附近点电荷产生的电位接地导体球附近点电荷产生的电位用用等效电荷等效电荷代替非代替非均匀感应电荷均匀感应电荷q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷q′q′等效电荷等效电荷 等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置——镜像法镜像法。

第八讲第八讲 镜像法镜像法问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？条件：条件：回顾：回顾：静电场的静电场的惟一性定理惟一性定理• 已知场域已知场域V 内的自由电荷分布和电介质特性内的自由电荷分布和电介质特性结论：结论：场域场域V 内的位函数具有惟一确定解内的位函数具有惟一确定解• 已知已知 场域场域V的边界面的边界面S上的上的 或或 的值的值一、镜像法原理一、镜像法原理方法：方法：在求解在求解区域外区域外设置等效电荷，替代设置等效电荷，替代边界上边界上分布电荷的作用分布电荷的作用目的：目的：将复杂边值问题转换为将复杂边值问题转换为无界均匀媒质无界均匀媒质空间的问题空间的问题第八讲第八讲 镜像法镜像法一、镜像法原理一、镜像法原理根据根据唯一性定理唯一性定理，若镜像电荷的引入满足：，若镜像电荷的引入满足：u 电位函数仍然电位函数仍然满足原方程满足原方程（拉氏方程或泊松方程）（拉氏方程或泊松方程）u 电位分布仍电位分布仍满足原边界条件满足原边界条件则可确保求得的解就是正确的则可确保求得的解就是正确的。

引入镜像电荷的引入镜像电荷的两条原则两条原则：：u 等效电荷必须位于所求解的场等效电荷必须位于所求解的场区域以外区域以外的空间中；的空间中；u像像电电荷荷的的个个数数、、位位置置及及电电荷荷量量的的大大小小根根据据场场区区域域的的边边界界条条件件来来确定像电荷的：像电荷的个数个数、、位置位置及其及其电量电量镜像法应用的关键点：镜像法应用的关键点：Ø 镜像电荷的确定镜像电荷的确定Ø 明确明确等效求解的等效求解的““有效场域有效场域””第八讲第八讲 镜像法镜像法 等效问题与原问题在求解区域内等效问题与原问题在求解区域内边界条件边界条件及及电荷分布相同电荷分布相同由唯一由唯一性定理，知解唯一正确性定理，知解唯一正确二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像1 1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像、点电荷对无限大接地导体平面的镜像q q有效区域有效区域q q 原电荷：原电荷： 镜像电荷镜像电荷: : ( (求解域外求解域外) )第八讲第八讲 镜像法镜像法1 1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像、点电荷对无限大接地导体平面的镜像上半空间内的电位分布为：上半空间内的电位分布为： 点电荷在平面导体面上的点电荷在平面导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等感应电荷电量与镜像电荷电量相等。

接地导体分界面上感应电荷分布接地导体分界面上感应电荷分布二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法1 1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像、点电荷对无限大接地导体平面的镜像思考思考 • 无限大导体平板不接地，镜像电荷如何确定无限大导体平板不接地，镜像电荷如何确定？？• 有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？？q q二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法引引入入像像电电荷荷后后满满足足原原问问题题的的边边界界条条件件，，所得解正确所得解正确2 2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像有效区域有效区域 等效问题：等效问题：上半空间的电位分布为：上半空间的电位分布为：二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法3 3、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 要满足在导体平面上电位为零，要满足在导体平面上电位为零，则必须引入则必须引入3 3个镜像电荷。

个镜像电荷 对于非垂直相交的两导体平面对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为构成的边界，若夹角为 ，则，则所有所有镜像电荷数目为镜像电荷数目为2n-1个 d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1电位：电位：qd12d2160°二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外PqarRd问题问题：： qPaq'rR'Rdd' 球球面面上上的的感感应应电电荷荷可可用用镜镜像像电电荷荷q'来来等等效效q'应应位位于于导导体体球球内内（（不不影影响响原原方方程程）），，且且在在点点电电荷荷q与与球球心心的的连连线线上上，，距球心为距球心为d'则有 点点电电荷荷q 位位于于半半径径为为a 的的接接地地导导体体球外，距球心为球外，距球心为d 第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外qPaq'rR'Rdd' 镜像电荷的确定镜像电荷的确定由镜像法原理：镜像电荷位于球内区域，由镜像法原理：镜像电荷位于球内区域，且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球面上电位为面上电位为0 0，即：，即：第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外 镜像电荷的确定镜像电荷的确定qPaq'rR'Rdd'————导体球面镜像电荷导体球面镜像电荷第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外 接地导体球边界静电问题接地导体球边界静电问题qPaq'rR'Rdd'导体球面上的总导体球面上的总感应电荷感应电荷也也与与所设置的所设置的镜像电荷电量相等镜像电荷电量相等。

Ø球外的电位函数为球外的电位函数为Ø导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为Ø球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像2 2、点电荷位于接地导体球壳内、点电荷位于接地导体球壳内 镜像电荷的确定镜像电荷的确定aqdObq′d’rR′RP 如图所示接地空心导体球壳的内半径如图所示接地空心导体球壳的内半径为为a 、外半径为、外半径为b，点电荷，点电荷q 位于球壳内，位于球壳内，与球心相距为与球心相距为d ( d < a )• 感应电荷是如何分布的？感应电荷是如何分布的？ 分布在球壳的内表面上分布在球壳的内表面上• 镜像电荷镜像电荷q′应位于何处？应位于何处？ 位于导体空腔外，且在点电荷位于导体空腔外，且在点电荷q q与球与球心的连线的延长线上心的连线的延长线上•　　| q'|>|q|，镜像电荷的电荷量，镜像电荷的电荷量大于大于点电荷的电荷量点电荷的电荷量•　像电荷的位置和电量与外半径　像电荷的位置和电量与外半径 b 无关无关（（为什么？为什么？））第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像2 2、点电荷位于接地导体球壳内、点电荷位于接地导体球壳内 接地导体球壳的静电问题接地导体球壳的静电问题aqdObq′d’rR′RP导体球面上的导体球面上的总感应电荷与总感应电荷与所设置的所设置的镜像电荷不相等镜像电荷不相等。

Ø球壳球壳内内的电位函数为的电位函数为Ø球壳球壳内表面内表面的总感应电荷为的总感应电荷为Ø球壳球壳内表面内表面感应电荷面密度为感应电荷面密度为第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像3 3、点电荷位于不接地导体球面外、点电荷位于不接地导体球面外aqrPd1q′d2-q′R′R导体球不接地时的特点：导体球不接地时的特点：• 导体球面是导体球面是电位不为零电位不为零的等位面的等位面• 球球面面上上既既有有感感应应负负电电荷荷分分布布也也有有感感应应正正电电荷分布，但荷分布，但总的感应电荷为零总的感应电荷为零u负电荷分布与接地球球分布相同负电荷分布与接地球球分布相同u正电荷均匀分布正电荷均匀分布与与 共同使使球面电位为共同使使球面电位为0 0使球面为电位非使球面为电位非0 0的等势面的等势面问题：如何确定镜像电荷？问题：如何确定镜像电荷？q qa a=+a aa第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像3 3、点电荷位于不接地导体球面外、点电荷位于不接地导体球面外q q′′aq q″a+qPaq'rR'Rdd'q"q qa a=+a aa第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像3 3、点电荷位于不接地导体球面外、点电荷位于不接地导体球面外球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaq'rR'Rdd'q"结论：结论：不接地导体球外存在点电荷不接地导体球外存在点电荷q时，其镜像电荷为：时，其镜像电荷为：第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像4 4、点电荷位于不接地空心球壳内、点电荷位于不接地空心球壳内aqdobaqobPaq'rR'Rdd'qPbrq"q’’= q，位于球心，位于球心（为什么？）（为什么？）第八讲第八讲 镜像法镜像法四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像1 1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像、线电荷与接地导体圆柱面的镜像线电线电荷与荷与导导体体圆圆柱柱线电线电荷与荷与导导体体圆圆柱的柱的镜镜像像问题：问题：密度为密度为ρl 的无限长线电荷位于半径的无限长线电荷位于半径为为a 的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d。

特点：特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱外的电位由线电荷与感应电荷共同产生外的电位由线电荷与感应电荷共同产生分析方法：分析方法：根据电位边界条件确定根据电位边界条件确定问题：如何确定镜像电荷？问题：如何确定镜像电荷？第八讲第八讲 镜像法镜像法由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像1 1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像、线电荷与接地导体圆柱面的镜像 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为，且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同共同产生的电位函数产生的电位函数线电线电荷与荷与导导体体圆圆柱的柱的镜镜像像第八讲第八讲 镜像法镜像法四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像1 1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像、线电荷与接地导体圆柱面的镜像将上式对将上式对φ求导，可以得到求导，可以得到线电线电荷与荷与导导体体圆圆柱的柱的镜镜像像————导体柱面镜像电荷导体柱面镜像电荷第八讲第八讲 镜像法镜像法四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像1 1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像、线电荷与接地导体圆柱面的镜像导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数：由由 时，时，故故导体圆柱面上的感应电荷面密度导体圆柱面上的感应电荷面密度导体圆柱面上单位长度的感应电荷导体圆柱面上单位长度的感应电荷感应电荷与镜像电荷相等感应电荷与镜像电荷相等？？第八讲第八讲 镜像法镜像法四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像2 2、两平行导体圆柱面的镜像、两平行导体圆柱面的镜像图图1 两平行两平行导导体体圆圆柱柱图图2 两平行两平行导导体体圆圆柱的等效柱的等效电电荷荷特点：特点：两圆柱带电导体的电场互相影响，两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对一侧电使导体表面的电荷分布不均匀，相对一侧电荷密度大，而相背一侧电荷密度较小。

荷密度大，而相背一侧电荷密度较小分析方法：分析方法：将导体表面上的电荷用线密将导体表面上的电荷用线密度分别为度分别为 、且相距为、且相距为2b 的两根无限长的两根无限长带电细线带电细线来等效替代来等效替代问题：问题：两平行导体圆柱半径均为两平行导体圆柱半径均为a，轴线间，轴线间距为距为2h，单位长度分别带电荷，单位长度分别带电荷 和和 第八讲第八讲 镜像法镜像法四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像2 2、两平行导体圆柱面的镜像、两平行导体圆柱面的镜像两平行导体圆柱的等效电荷两平行导体圆柱的等效电荷 通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴电轴，因而这，因而这种方法又称为种方法又称为电轴法电轴法由由 利用线电荷与接地导体圆柱面的利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定镜像确定b 由对称性由对称性第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 1 1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 图图1 1 点点电电荷与荷与电电介介质质分界平面分界平面问题：问题：求解空间中的电位分布（上半空间求解空间中的电位分布（上半空间及下半空间）。

及下半空间）特点：特点：•在介质分界面上存在在介质分界面上存在极化电荷极化电荷分布分布•空间中任一点的电场由空间中任一点的电场由点电荷点电荷与与极化电极化电荷荷共同产生共同产生问题：如何确定镜像电荷？问题：如何确定镜像电荷？第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 1 1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 Ø 计算计算上半空间上半空间中的电位中的电位由镜像法，镜像电荷须位于下半空间由镜像法，镜像电荷须位于下半空间介介质质1 1的的镜镜像像电电荷荷Ø 计算计算下半空间下半空间中的电位中的电位由镜像法，镜像电荷须位于上半空间由镜像法，镜像电荷须位于上半空间介介质质2 2的的镜镜像像电电荷荷问题问题：： 由由边界条件边界条件来确定第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 1 1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 介介质质1 1的的镜镜像像电电荷荷介介质质2 2的的镜镜像像电电荷荷介质介质1 1中的电位为中的电位为介质介质2 2中的电位为中的电位为待求待求第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 1 1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 由电位的边界条件由电位的边界条件————点电荷对电介质平面分界面的镜像电荷点电荷对电介质平面分界面的镜像电荷 对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无 限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 2 2、线电流与无限大磁介质分界平面的镜像、线电流与无限大磁介质分界平面的镜像 图图1 1 线电线电流与磁介流与磁介质质分界平面分界平面图图2 2 磁介磁介质质1 1的的镜镜像像线线电电流流特点：特点：•分界面上有分界面上有磁化电流磁化电流分布分布•空间中的磁场由空间中的磁场由线电流线电流和和磁化电流磁化电流共同产生。

共同产生•计算磁介质计算磁介质1 1中的磁场时，用中的磁场时，用图图2 2 所示的镜像线电流来代替分界面所示的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流上的磁化电流图图3 3 磁介磁介质质2 2的的镜镜像像线线电电流流•计算磁介质计算磁介质2 2中的磁场时，用中的磁场时，用图图3 3所示的镜像线电流来代替分界面所示的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流上的磁化电流第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 2 2、线电流与无限大磁介质分界平面的镜像、线电流与无限大磁介质分界平面的镜像 电流沿轴方向流动，则矢量磁位电流沿轴方向流动，则矢量磁位A也只有轴向分量磁介质也只有轴向分量磁介质1和和磁介质磁介质2中任一点的矢量磁位分别为中任一点的矢量磁位分别为利用矢量磁位满足的边界条件利用矢量磁位满足的边界条件第八讲第八讲 镜像法镜像法解解：：移移动动电电荷荷q时时，，外外力力需需要要克克服服电电场场力力做做功功，，而而电电荷荷q受受的的电电场场力力来源于导体板上的感应电荷来源于导体板上的感应电荷　　由由镜镜像像法法，，感感应应电电荷荷的的电电场场可可以以用用像像电电荷荷q′＝＝－－q替替代代。

当当电电荷荷q移至移至x时，像电荷时，像电荷q′应位于－应位于－x，则有，则有【【例例1】】 一一个个点点电电荷荷q与与无无限限大大导导体体平平面面距距离离为为d，，如如果果把把它它移移至至无无穷穷远处，（外力）需要做多少功？远处，（外力）需要做多少功？q′q′q qx x  =∞ =∞ 0 0d d-d-d六、典型例题六、典型例题 第八讲第八讲 镜像法镜像法六、典型例题六、典型例题 【【例例2】】真空中一点电荷真空中一点电荷Q位于导体球附近导体球半径为位于导体球附近导体球半径为a，点电荷距，点电荷距离球心距离为离球心距离为d（（d>a）求：（（1）导体球接地时球外空间电位分布及电荷）导体球接地时球外空间电位分布及电荷Q所受的电场力；所受的电场力；（（2）导体球未接地时空间电位分布及电荷）导体球未接地时空间电位分布及电荷Q所受的电场力；所受的电场力；PqarRdqPaq'rR'Rdd'解解:(1)当导体球接地时，由镜像法，原问当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在题可等效为空间只存在Q和镜像电荷和镜像电荷q’，，不存在边界的问题易知：不存在边界的问题易知：则球外空间任意点则球外空间任意点 处电位为：处电位为：第八讲第八讲 镜像法镜像法六、典型例题六、典型例题 （续例（续例2））电荷电荷Q Q受静电力为：受静电力为：(2) 当导体球不接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在当导体球不接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在Q和镜像和镜像电荷电荷q’和和q’’，不存在边界的问题。

易知：，不存在边界的问题易知：位置位于球心位置位于球心则球外空间任意点则球外空间任意点 处电位为：处电位为：aqrPdq′d’-q′r′R第八讲第八讲 镜像法镜像法六、典型例题六、典型例题 【【例例3】】在接地导体平面上，有一半径为在接地导体平面上，有一半径为a a的半球形导体凸部，半球球的半球形导体凸部，半球球心位于导体面上半球对称轴上有一点电荷心位于导体面上半球对称轴上有一点电荷q q距离球心为距离球心为d(d>a)d(d>a)求：（（1 1）） 空间中的电位分布；空间中的电位分布；（（2 2）） 电荷电荷q q所受到的静电力所受到的静电力解解:(1) 由镜像法，导体面上的感应电荷等由镜像法，导体面上的感应电荷等效为效为3个镜像电荷：个镜像电荷：导体外空间任意点导体外空间任意点 处电位为：处电位为：q'q''q'''位于：位于：位于：位于：位于：位于：a’’第八讲第八讲 镜像法镜像法（续例（续例3））六、典型例题六、典型例题 点电荷所受静电力点电荷所受静电力第八讲第八讲 镜像法镜像法六、典型例题六、典型例题 【【思考练习题思考练习题】】第八讲第八讲 镜像法镜像法（续例（续例4））六、典型例题六、典型例题 。