高考数学冲刺复习资料专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略.doc

高考数学冲刺复习资料专项一：三角与向量的交汇题型分析及解题方略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合重要体现为交汇型，在高考中，重要出目前解答题的第一种试题位置上，其难度中档偏下，分值一般为12分，交汇性重要体目前：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间均有着不同限度的交汇，在高考中是一种热点.如安徽理科第5题(5分)，考察三角函数的对称性与向量平移、山东文第8题理第15题(5分)考察两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题(12分)考察三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题(4分)考察正余弦定理与向量数量积等.根据考纲估计在高考中解答题仍会波及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件．重要考察题型：(1)考察纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考察三角函数与向量的交汇，一般是先运用向量知识建立三角函数关系式，再运用三角函数知识求解；(3)考察三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交错在一起.【考试规定】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．理解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．理解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能对的运用三角公式进行简朴三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．7．理解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，理解用平面向量的数量积可以解决有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能纯熟运用．掌握平移公式．【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数同样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以运用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同步在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.重要考点如下：1．考察三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考察三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(wx+j)的性质和图像及其图像变换.3．考察平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，重要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考察向量的坐标表达，向量的线性运算，并能对的地进行运算.5．考察平面向量的数量积及运算律(涉及坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考察运用正弦定理、余弦定理解三角形问题.【典例分析】题型一　三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都波及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相似，但它们实质是同样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题重要注意两个方面的拟定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中相应的向量坐标.【例1】　把函数y＝sin2x的图象按向量＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋j)(A＞0，ω＞0，|j|＝)的图象，则j和B的值依次为 （ ）A．，－3 B．，3 C．，－3 D．－，3【分析】　根据向量的坐标拟定平行公式为，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此拟定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】　由平移向量知向量平移公式，即，代入y＝sin2x得y¢＋3＝sin2(x¢＋)，即到y＝sin(2x＋)－3，由此知j＝，B＝－3，故选C.【解析2】　由向量＝(－，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋)－3，即y＝sin(2x＋)－3，由此知j＝，B＝－3，故选C.【点评】　此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，重要考察分析问题、解决问题的综合应用能力，同步考察方程的思想及转化的思想.本题解答的核心，也是易出错的地方是拟定平移的方向及平移的大小.题型二　三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再运用三角函数的有关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有助于考察学生的基本掌握状况，因此在高考中常有考察.【例2】　已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.【分析】　一方面运用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范畴即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的成果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为有关角B的体现式，再根据B的范畴求最值.【解】　（Ⅰ）∵、共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝，又A为锐角，因此sinA＝，则A＝.（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.【点评】　本题重要考察向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个核心：（1）运用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件拟定B角的范畴.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题拟定角的范畴就显得至关重要了.题型三　三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一种热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是一方面运用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再运用三角函数的有关知识进行求解.此类题型解答重要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】　已知向量＝(3sinα,cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且⊥．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(＋)的值．【分析】　第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立有关α的三角方程，再运用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的成果，运用二倍角公式求得tan的值，再运用两角和与差的三角公式求得最后的成果．【解】　（Ⅰ）∵⊥，∴·＝0．而＝（3sinα，cosα），＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故·＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos＝－，∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－【点评】　本题重要考察向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同步本题两个小题的解答都波及到角的范畴的拟定，再一次阐明了在解答三角函数问题中拟定角的范畴的重要性.同步还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想措施，这是解决在一道试题中同步浮现“切函数与弦函数”关系问题常用措施.题型四　三角函数与平面向量的模的综合此类题型重要是运用向量模的性质||2＝2，如果波及到向量的坐标解答时可运用两种措施：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再运用向量的坐标运算进行求解.【例3】　已知向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)，|－|＝.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.【分析】　运用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cosβ即可.【解】　(Ⅰ)∵|－|＝，∴2－2·＋2＝，将向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)代入上式得12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－β)＝－.(Ⅱ)∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝，又sinβ＝－，∴cosβ＝，∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.点评：本题重要考察向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|－|为向量运算|－|2＝(－)2；(2)注意解α－β的范畴.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五　三角函数与平面向量数量积的综合此类题型重要体现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)运用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也重要是运用向量一方面进行转化，再运用三角函数知识求解.0318【例5】　设函数f(x)＝·.其中向量＝(m，cosx)，＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.分析：运用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所波及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接运用条件f()＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题运用三角函数函数的有界性就可以求解.解：（Ⅰ）f(x)＝·＝m(1＋sinx)＋cosx，由f()＝2，得m(1＋sin)＋cos＝2，解得m＝1.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝sin(x＋)＋1，当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为1－.点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不管是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，一方面都是运用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再运用三角函数的有关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是运用向量知识来推导的，阐明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合重要体现为以三角形的角相应的三角函数值为向量的坐标，规定根据向量的关系解答有关的问题.【例6】　已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，a＝2，且·＝．（Ⅰ）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范畴．【分析】　第(Ⅰ)小题运用数量积公式建立有关角A的三角函数方程，再运用二倍角公式求得A角，然后通过三角形的面积公式及余弦。