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中考数学冲刺复习资料二次函数压轴题.doc

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    • 1 -2016 年中考数学冲刺复习资料年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题二次函数压轴题面积类面积类1.解答:解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x﹣3) ,则:a(0+1) (0﹣3)=3,a=﹣1;∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1) (x﹣3)=﹣x2+2x+3.(2)设直线 BC 的解析式为:y=kx+b,则有:,解得;故直线 BC 的解析式:y=﹣x+3.已知点 M 的横坐标为 m,MN∥y,则 M(m,﹣m+3) 、N(m,﹣m2+2m+3) ;∴故 MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3) .(3)如图;∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN•OB,∴S△BNC=(﹣m2+3m)•3=﹣(m﹣)2+(0<m<3) ;∴当 m=时,△BNC 的面积最大,最大值为.2.解答:解:(1)将 B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:0=16a﹣×4﹣2,即:a=;∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2.(2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0) 、C(0,﹣2) ;∴OA=1,OC=2,OB=4,即:OC2=OA•OB,又:OC⊥AB,∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,∴△ABC 为直角三角形,AB 为△ABC 外接圆的直径;所以该外接圆的圆心为 AB 的中点,且坐标为:(,0) .(3)已求得:B(4,0) 、C(0,﹣2) ,可得直线 BC 的解析式为:y=x﹣2;设直线 l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线 l 与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即: x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即 b=﹣4;- 2 -∴直线 l:y=x﹣4.所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点,有:,解得:即 M(2,﹣3) .过 M 点作 MN⊥x 轴于 N,S△BMC=S梯形 OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.平行四边形类平行四边形类3 解答:解:(1)把 A(3,0)B(0,﹣3)代入 y=x2+mx+n,得解得,所以抛物线的解析式是 y=x2﹣2x﹣3.设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,把 A(3,0)B(0,﹣3)代入 y=kx+b,得,解得,所以直线 AB 的解析式是 y=x﹣3;(2)设点 P 的坐标是(t,t﹣3) ,则 M(t,t2﹣2t﹣3) ,因为 p 在第四象限,所以 PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,当 t=﹣=时,二次函数的最大值,即 PM 最长值为=,则 S△ABM=S△BPM+S△APM==.(3)存在,理由如下:∵PM∥OB,∴当 PM=OB 时,点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,①当 P 在第四象限:PM=OB=3,PM 最长时只有,所以不可能有PM=3.②当 P 在第一象限:PM=OB=3, (t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,解得 t1=,t2=(舍去) ,所以 P 点的横坐标是;- 3 -③当 P 在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得 t1=(舍去) ,t2=,所以 P 点的横坐标是.所以 P 点的横坐标是或.4.解答:解:(1)△A′B′O 是由△ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90°得到的,又 A(0,1) ,B(2,0) ,O(0,0) ,∴A′(﹣1,0) ,B′(0,2) .方法一:设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0) ,∵抛物线经过点 A′、B′、B,∴,解得:,∴满足条件的抛物线的解析式为 y=﹣x2+x+2.方法二:∵A′(﹣1,0) ,B′(0,2) ,B(2,0) ,设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x﹣2)将 B′(0,2)代入得出:2=a(0+1) (0﹣2) ,解得:a=﹣1,故满足条件的抛物线的解析式为 y=﹣(x+1) (x﹣2)=﹣x2+x+2;(2)∵P 为第一象限内抛物线上的一动点,设 P(x,y) ,则 x>0,y>0,P 点坐标满足 y=﹣x2+x+2.连接 PB,PO,PB′,∴S四边形 PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,=×1×2+×2×x+×2×y,=x+(﹣x2+x+2)+1,=﹣x2+2x+3.∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O 面积为:×1×2=1,假设四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍,则4=﹣x2+2x+3,即 x2﹣2x+1=0,解得:x1=x2=1,此时 y=﹣12+1+2=2,即 P(1,2) .∴存在点 P(1,2) ,使四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4倍. - 4 -(3)四边形 PB′A′B 为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意 2 个均可.①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)或用符号表示:①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)5.解答:解:(1)∵顶点 A 的横坐标为 x=﹣=1,且顶点 A 在 y=x﹣5 上,∴当 x=1 时,y=1﹣5=﹣4,∴A(1,﹣4) .(2)△ABD 是直角三角形.将 A(1,﹣4)代入 y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3,∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3)当 y=0 时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3∴C(﹣1,0) ,D(3,0) ,BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20,BD2+AB2=AD2,∴∠ABD=90°,即△ABD 是直角三角形.(3)存在.由题意知:直线 y=x﹣5 交 y 轴于点 E(0,﹣5) ,交 x 轴于点 F(5,0)∴OE=OF=5,又∵OB=OD=3∴△OEF 与△OBD 都是等腰直角三角形∴BD∥l,即 PA∥BD则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD,如图,过点 P 作 y 轴的垂线,过点 A 作 x 轴的垂线交过 P 且平行于 x 轴的直线于点 G.设 P(x1,x1﹣5) ,则 G(1,x1﹣5)则 PG=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得:(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2 或 4∴P(﹣2,﹣7)或 P(4,﹣1) ,存在点 P(﹣2,﹣7)或 P(4,﹣1)使以点 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形.- 5 -周长类周长类6.解答:解:(1)∵抛物线 y=经过点 B(0,4)∴c=4,∵顶点在直线 x=上,∴﹣=﹣=,∴b=﹣;∴所求函数关系式为;(2)在 Rt△ABO 中,OA=3,OB=4,∴AB=,∵四边形 ABCD 是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,∴C、D 两点的坐标分别是(5,4) 、 (2,0) ,当 x=5 时,y=,当 x=2 时,y=,∴点 C 和点 D 都在所求抛物线上;(3)设 CD 与对称轴交于点 P,则 P 为所求的点,设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b,则,解得:,∴,当 x=时,y=,∴P() ,(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD,∴即得 ON=,设对称轴交 x 于点 F,则(PF+OM)•OF=(+t)×,∵,S△PNF=×NF•PF=×(﹣t)×=,S=(﹣) ,=﹣(0<t<4) ,a=﹣<0∴抛物线开口向下,S 存在最大值.- 6 -由 S△PMN=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,∴当 t=时,S 取最大值是,此时,点 M 的坐标为(0,) .等腰三角形类等腰三角形类7.解答:解:(1)如图,过 B 点作 BC⊥x 轴,垂足为 C,则∠BCO=90°,∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°,又∵OA=OB=4,∴OC=OB=×4=2,BC=OB•sin60°=4×=2,∴点 B 的坐标为(﹣2,﹣2) ;(2)∵抛物线过原点 O 和点 A、B,∴可设抛物线解析式为 y=ax2+bx,将 A(4,0) ,B(﹣2.﹣2)代入,得,解得,∴此抛物线的解析式为 y=﹣x2+x(3)存在,如图,抛物线的对称轴是直线 x=2,直线 x=2 与 x 轴的交点为 D,设点 P 的坐标为(2,y) ,①若 OB=OP,则 22+|y|2=42,解得 y=±2,当 y=2时,在 Rt△POD 中,∠PDO=90°,sin∠POD==,∴∠POD=60°,∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即 P、O、B 三点在同一直线上,∴y=2不符合题意,舍去,∴点 P 的坐标为(2,﹣2)②若 OB=PB,则 42+|y+2|2=42,解得 y=﹣2,故点 P 的坐标为(2,﹣2) ,③若 OP=BP,则 22+|y|2=42+|y+2|2,解得 y=﹣2,故点 P 的坐标为(2,﹣2) ,综上所述,符合条件的点 P 只有一个,其坐标为(2,﹣2) ,8.解答:解:(1)过点 B 作 BD⊥x 轴,垂足为 D,- 7 -∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,∴∠BCD=∠CAO, (1 分)又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,∴△BCD≌△CAO, (2 分)∴BD=OC=1,CD=OA=2, (3 分)∴点 B 的坐标为(﹣3,1) ;(4 分)(2)抛物线 y=ax2+ax﹣2 经过点 B(﹣3,1) ,则得到 1=9a﹣3a﹣2, (5 分)解得 a=,所以抛物线的解析式为 y=x2+x﹣2;(7 分)(3)假设存在点 P,使得△ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形:①若以点 C 为直角顶点;则延长 BC 至点 P1,使得 P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1, (8 分)过点 P1作 P1M⊥x 轴,∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,∴△MP1C≌△DBC. (10 分)∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点 P1(1,﹣1) ;(11 分)②若以点 A 为直角顶点;则过点 A 作 AP2⊥CA,且使得 AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2, (12 分)过点 P2作 P2N⊥y 轴,同理可证△AP2N≌△CAO, (13 分)∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点 P2(2,1) , (14 分)经检验,点 P1(1,﹣1)与点 P2(2,1)都在抛物线 y=x2+x﹣2 上. (16 分)9 解答:解:(1)过点 B 作 BD⊥x 轴,垂足为 D,∵∠BCD+∠ACO=90°,∠AC0+∠OAC=90°,∴∠BCD=∠CAO,又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,∴△BDC≌△COA,∴BD=OC=1,CD=OA=2,∴点 B 的坐标为(3,1) ;(2)∵抛物线 y=ax2﹣ax﹣2 过点 B(3,1) ,∴1=9a﹣3a﹣2,解得:a=,∴抛物线的解析式为 y=x2﹣x﹣2;- 8 -(3)假设存在点 P,使得△ACP 是等腰直角三角形,①若以 AC 为直角边,点 C 为直角顶点,则延长 BC 至点 P1使得 P1C=BC,得到等腰直角三角形 ACP1,过点 P1作 P1M⊥x 轴,如图(1) ,∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,∴△MP1C≌△DBC,∴CM=CD=2,P1M=BD=1,∴P1(﹣1,﹣1) ,经检验点 P1在抛物线 y=x2﹣x﹣2 上;②若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP2⊥CA,且使得 AP2=AC,得到等腰直角三角形 ACP2,过点 P2作 P2N⊥y 轴,如图(2) ,同理可证△AP2N≌△CAO,∴NP。

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