柯西不等式(2)(王琪).ppt

江苏省盐城中学江苏省盐城中学 王琪王琪2009.11.19一、复习引入一、复习引入(2)(2)变式：变式：(4)(4)三角不等式：三角不等式：(5)(5)特例：特例：(1)(1)二维形式的柯西不等式：二维形式的柯西不等式：当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立.等号当且仅当等号当且仅当 共线时成立共线时成立.二、学生活动二、学生活动3.猜想猜想n维形式的柯西不等式：维形式的柯西不等式：三、建构数学三、建构数学1.二维形式的柯西不等式：二维形式的柯西不等式：2.三维形式的柯西不等式：三维形式的柯西不等式：1.1.比较法比较法2.2.综合法综合法3.3.向量法向量法4.4.函数法函数法三、建构数学三、建构数学柯西（柯西（1789-1857 ）是法国数学家、力）是法国数学家、力学家学家.1816年（年（27岁）成为巴黎岁）成为巴黎 综合工科综合工科学校教授，并当选为法国科学院学校教授，并当选为法国科学院 院士院士.他他的临终名言是的临终名言是“人总是要死的，但是，人总是要死的，但是，人总是要死的，但是，人总是要死的，但是，他们的业绩永存他们的业绩永存他们的业绩永存他们的业绩永存．．”结构特征：结构特征：平方和的乘积不小于乘积和的平方平方和的乘积不小于乘积和的平方. .（一般形式的柯西不等式）（一般形式的柯西不等式）等号当且仅当等号当且仅当 时成立（当时成立（当 ，， 定理：定理：设设 是实数，则是实数，则 时，约定时，约定四、数学运用四、数学运用例例1.1.已知已知都是实数，求证：都是实数，求证：已知已知变题变题1 1：：都是实数，求证：都是实数，求证：变题变题2 2：： 已知已知都是实数，且都是实数，且求求 的最小值的最小值. .四、数学运用四、数学运用变题：变题：解题关键：解题关键：将目标式变形、凑配、构造将目标式变形、凑配、构造当且仅当当且仅当 时时,四、数学运用四、数学运用解：设正三角形的边长为解：设正三角形的边长为a、、b、、c，则　　　　　　，则　　　　　　a+b+c＝＝3，且这三个正三角形面积和为：，且这三个正三角形面积和为：当且仅当当且仅当a＝＝b＝＝c＝＝1时，等号成立时，等号成立.例例3.3.把长为把长为9cm9cm的细铁线截成三段，各自围成一个的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值. .所以，这三个正三角形面积和的最小值所以，这三个正三角形面积和的最小值　　　　五、巩固练习五、巩固练习9 92.2.设设 是正数，且是正数，且 ，，（（1 1）求）求 的最小值；的最小值；（（2 2）求）求 的最大值的最大值. .1.1.在在 中，设其各边长为中，设其各边长为 ，外接圆，外接圆 半径为半径为R R，求证：，求证：六、六、回顾小结回顾小结解题关键：解题关键：将目标式变形、凑配、构造将目标式变形、凑配、构造数学思想：数学思想：类比、函数、转化类比、函数、转化（一般形式的柯西不等式）（一般形式的柯西不等式）定理：定理：设设 是实数，则是实数，则 时，约定时，约定等号当且仅当等号当且仅当 时成立（当时成立（当 ，， 。