常用统计分布与抽样分布.ppt

补充补充2 2：： 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理•切比雪夫不等式切比雪夫不等式•切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律•贝努里大数定律贝努里大数定律•独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理这就是大数定律所阐述的这就是大数定律所阐述的根据测量的经验：根据测量的经验：大数定律：大量重复的随机试验所呈现的规律性大数定律：大量重复的随机试验所呈现的规律性当当n充分大时，充分大时，n次测量值的平均值次测量值的平均值引理：切比雪夫不等式引理：切比雪夫不等式或或设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望EX与方差与方差DX都都存在，则对于任意的正数存在，则对于任意的正数ε，有，有定理定理1 1（（契比雪夫契比雪夫大数大数定律定律）） 且具有相同的数学且具有相同的数学期望及方差，期望及方差，定理定理2（贝努里大数定律）（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律大数定律)例例1. 设电站供电网有设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率为开灯的概率为0.7，假定每盏电灯开关彼此独立，，假定每盏电灯开关彼此独立，估计夜晚同时开着的灯的数目在估计夜晚同时开着的灯的数目在6800~7200之间的之间的概率。

利用切比谢夫不等式计算）概率利用切比谢夫不等式计算）定理定理3（独立同分布的中心极限定理）（独立同分布的中心极限定理） 阐明在什么条件下，随机变量和的分布可以近阐明在什么条件下，随机变量和的分布可以近似为正态分布的理论似为正态分布的理论 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为且服从相同的分布，其数学期望为0.5 kg，均方差，均方差为为0.1 kg，问，问5000只零件的总重量超过只零件的总重量超过2510 kg的概的概率是多少？率是多少？例例2 第六章： 样本和抽样分布 一一个统计问题有它明确的研究对象个统计问题有它明确的研究对象.1.1.总体总体研究对象全体称为研究对象全体称为总体总体(母体母体).总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.一、总体和样本一、总体和样本总体可以用随机变量及其分布来描述总体可以用随机变量及其分布来描述. 例如例如:总体总体X为某批灯泡的寿命为某批灯泡的寿命, 为推断总体分布及各种特征，从总体中为推断总体分布及各种特征，从总体中抽取抽取n个个体，所抽取的部分个体称为个个体，所抽取的部分个体称为样本样本. 样本中所包含的个体数目样本中所包含的个体数目n称为称为样本容量样本容量.2. 样本样本 样本的二重性：样本的二重性：抽样之前，样本为随机变量抽样之前，样本为随机变量, 记记 X1, X2 ,…, Xn .抽样之后，样本为一组数值抽样之后，样本为一组数值, 记记 x1, x2 ,…, xn . 2. 独立性独立性：： X1,X2,…,Xn是相互独立的是相互独立的随机变量随机变量. “简单随机抽样简单随机抽样”，要求抽取的样本满足：，要求抽取的样本满足： 1. 代表性代表性：： X1,X2,…,Xn中每一个与所中每一个与所考察的总体有相同的分布考察的总体有相同的分布. 说明：我们所考虑的都是简单随机抽样说明：我们所考虑的都是简单随机抽样的样本。

从而有：的样本从而有：X1,X2,…,Xn独立同分布，与总体分布相同独立同分布，与总体分布相同 例例 1 设设X1,X2,X3是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,写出样本写出样本X1的概率密度函数的概率密度函数二、统计量二、统计量设为总体X 的样本，为一个n元连续函数，若样本函数不含任何未知参数，则称为统计量. 例例 2 设设X1,X2,X3是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本, 指出下列哪个指出下列哪个不是统计量不是统计量.  几个常见统计量几个常见统计量样本均值样本均值修正的样本方差修正的样本方差样本成数样本成数修正的样本标准差修正的样本标准差三三. 抽样分布抽样分布 统计量既然是依赖于样本的，而后统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫量，因而就有一定的分布，这个分布叫做做 “抽样分布抽样分布” . 1. 样本均值的正态分布样本均值的正态分布 a. 单个正态总体下的样本均值的分布单个正态总体下的样本均值的分布设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布 为来自总体的一个样本，为来自总体的一个样本，定理定理1.则则为样本均值，为样本均值， b. 两个正态总体下的样本均值的分布两个正态总体下的样本均值的分布设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布 为分别来自为分别来自X 与与Y 的样本，的样本，X , Y定理定理2.相互独立，相互独立，总体总体Y 服从正态分布服从正态分布 分别为它们的样本均值，则分别为它们的样本均值，则 c. 非正态总体下的样本均值的分布非正态总体下的样本均值的分布定理定理3. 设总体设总体X 为任意总体为任意总体,其其 为来自总体的一个样本，为来自总体的一个样本，则则且且n较大时，近似地有较大时，近似地有为样本均值，要使成立，则样本容量例3 设为来自母体X的样本，例4 设总体X服从正态分布，来自总体X，计算.设总体X和Y相互独立,且都服从正态分布，和是分别来自X和Y的样本，求的概率。

例5 定理定理 4 (样本方差的分布样本方差的分布)设设X1,X2,…,Xn是来自正态总体是来自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和修正的样本方差分别为样本均值和修正的样本方差,则有则有 2. 样本方差的卡方分布样本方差的卡方分布 定理定理 5 (单正态总体样本均值的单正态总体样本均值的 t 分布分布) 设设X1,X2,…,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和修正的样本方差分别为样本均值和修正的样本方差,则有则有 3. 样本均值的学生氏分布样本均值的学生氏分布 定理定理 6 (两总体样本均值差的两总体样本均值差的 t 分布分布) 且且X与与Y独立独立,样本修正的样本方差样本修正的样本方差,则有则有X1,X2,…,是来自是来自X的样本的样本,是取自是取自Y的样本的样本,Y1,Y2,…,分别是这两个样本的分别是这两个样本的样本均值，样本均值，是这两个是这两个设设 且且X与与Y独立独立, 定理定理 7 (两总体样本方差比的两总体样本方差比的F分布分布) 分别是这两个样本的分别是这两个样本的X1,X2,…,是来自是来自X的样本的样本,是取自是取自Y的样本的样本,为这两个样本修正的样本方差为这两个样本修正的样本方差,则有则有Y1,Y2,…,样本均值，样本均值， 4. 样本方差比的样本方差比的F分布分布。