(完整word版)函数的奇偶性教案.doc

3.1.4 函数的奇偶性【教学目标】1. 理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征．2. 掌握判断函数奇偶性的方法．3. 通过教学，渗透数形结合思想，培养学生类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩证唯物主义思想．【教学重点】奇偶性概念与函数奇偶性的判断．【教学难点】理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域．【教学方法】 这节课主要采用类比教学法．先由两个具体的函数入手，引导学生发现函数f(x)在x与在－ x的函数值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象特征．然后由学生自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解题过程中深化对概念的理解．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入复习前面所学求函数值的知识．教师提出问题，学生回答．为学生理解奇、偶函数的定义做好准备．新课新课新课新课已知：函数f (x)＝2 x和 g (x)＝ x3．试求当 x＝±3，x＝±2，x＝±1，…，时的函数值，并观察相应函数值的关系．发现规律：对定义域R内的任意一个x，都有 f (－x)＝－f (x)；g(－x)＝－g(x)．证明：f (－x)＝2 (－x)＝－2 x＝－f(x)；g (－x)＝ (－x)3＝－ x3＝－g(x)．一、奇函数1. 定义．如果对于函数 y＝f (x)的定义域A内的任意一个x都有f (－x)＝－f (x)，则这个函数叫做奇函数．2. 图象特征．课件展示函数f (x)＝2 x和 g (x)＝ x3的图象，动画展示对称性．yxO(x，f (x))(-x，f (-x))奇函数的图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．一个函数是奇函数的充要条件是，它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．例1 判断下列函数是不是奇函数：(1) f (x)＝； (2) f (x)＝－x3；(3) f (x)＝x＋1；(4) f(x)＝x＋x3＋x5＋x7．解 (1) 函数 f (x)＝ 的定义域A＝{x | x ≠ 0}，所以当 x Î A时，－x Î A．因为 f (－x)＝＝－＝－f (x)，所以函数 f (x)＝ 是奇函数．(2) 函数 f (x)＝－x3 的定义域为 R，所以当 x Î R 时，－x Î R．因为 f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f (x)，所以函数 f (x)＝－x3 是奇函数．(3) 函数 f (x)＝x＋1的定义域为R，所以当x Î R时，－x Î R．因为 f (－x)＝－x＋1－f (x)＝－(x＋1)＝－x－1，所以 f (－x)≠－f (x)．所以函数 f (x)＝x＋1不是奇函数．(4) 函数 f (x)＝x＋x3＋x5＋x7的定义域为R，所以当x Î R时，－x Î R．因为 f (－x)＝－x－x3－x5－x7＝－(x＋x3＋x5＋x7) ＝－f (x)．所以函数f(x)＝x＋x3＋x5＋x7是奇函数．练习1 教材 P 73，练习A组 第1题．二、偶函数1. 定义．如果对于函数 y＝f (x)的定义域A内的任意一个x都有f (－x)＝f (x)，则这个函数叫做偶函数．2. 图象特征．偶函数的图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形．xO(x，f (x))(-x，f (x))y一个函数是偶函数的充要条件是，它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．例2 判断下列函数是不是偶函数：(1) f (x)＝x2＋x4；(2) f (x)＝x2＋1；(3) f (x)＝x2＋x3；(4) f (x)＝x2＋1，xÎ[－1，3].解(2) 函数 f (x)＝x2＋1的定义域为R，所以当 x Î R时，－x Î R．因为 f (－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f (x)，所以函数 f (x)＝x2＋1是偶函数．(4) 因为2Î[－1，3]，－2Ï[－1，3]，所以函数 f (x)＝x2＋1，xÎ[－1，3]不是偶函数．3. 对定义域的要求一个函数为奇函数或者偶函数的前提条件是这个函数的定义域关于原点对称．练习2 判断下列函数是不是偶函数：(1) f (x)＝(x＋1)(x－1)；(2) f (x)＝x2＋1，xÎ(－1，1]；(3) f (x)＝．y-11x学生计算相应的函数值．教师引导学生发现规律，总结规律：自变量互为相反数时，函数值互为相反数．老师引导学生给出证明．教师通过引例，归纳得到奇函数定义．师：播放动画．生：观察动画，回顾轴对称、中心对称图形的定义．观察函数 f (x)＝2 x和f (x)＝ x3的图象，它的对称性如何？总结奇函数的图象特征．教师出示例题．教师首先请学生讨论：判断奇函数的方法．学生尝试解答例题(1)，对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结判断方法：S1 判断当 xÎA时，是否有－x ÎA，即函数的定义域对应的区间是否关于坐标原点对称；S2 当S1成立时，对于任意一个 xÎA，若f(－x)＝－f(x)，则函数 y＝f(x)是奇函数．板书解题过程；其间穿插师生问答．老师强调，引起学生重视．学生模仿练习．学生探究：偶函数．师：结合函数 f (x)＝x2的图象，出示自学提纲：1. 偶函数的定义是什么？2. 偶函数的图象有什么特征？一个函数是偶函数的充要条件是什么？3. 偶函数对定义域的要求是什么？生：自学教材P71~72——偶函数的有关内容，每四人为一组，讨论并回答自学提纲中提出的问题．师：以提问的方式检查学生自学情况，订正学生回答的问题答案，并出示各知识点．给学生以赏识性评价．师：出示例题．生：分析解题思路．在黑板上解答(1)(2)(3)．师：引导学生订正黑板上的答案，规范解题过程，梳理解题步骤．教师结合图象讲解(4)．对比(2)，(4)的解题过程，发现判断函数奇偶性时，所给定义域的重要性．结合函数的图象强调定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的前提．学生模仿练习；师生统一订正．由特殊到一般，发挥学生自主性．提高学生的读图能力，渗透数形结合的数学思想．在奇函数的定义中定义域对应的区间关于坐标原点对称是学生思维的难点.本环节为突破这一难点而设计．通过分组讨论探究，使学生深刻理解定义中隐含的对定义域的要求．例题根据各种不同情况进行设计，作了层次处理．在教师引导讲解例题后紧跟相应练习，使学生对每一类型都有比较深刻印象，符合学生认知心理，为学生更好地掌握定义奠定基础．规范解题步骤,使学生模仿形成技能．通过例题与练习的解答，加深对奇函数定义的理解，并将定义运用到解题中．通过类比、自学，培养学生的理性思维，提高学生的学习能力，加强学生间的合作交流．在掌握了奇函数判断方法的基础上，放手让学生自己去进行偶函数的判断，提高学生举一反三解决问题的能力．根据学生做题情况，了解学生对本节课知识的掌握情况．小结1. 函数的奇偶性定义图象特征奇函数偶函数2. 判断函数奇偶性的步骤：S1 判断当 xÎA 时，是否有 －xÎA ；S2 当S1成立时，对于任意一个xÎA：若 f (－x)＝－f (x)，则函数 y＝f (x)是奇函数；若 f (－x)＝f (x)，则函数 y＝f (x)是偶函数．1. 学生读书、反思：读教材 P 69～73——函数的奇偶性，总结本节课收获．2. 教师引导梳理(1)出示表格，学生填表，巩固所学内容．(2)总结判断一个函数奇偶性的步骤．通过对比，加深理解，强化记忆．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材 P74 ，习题第5题；第6题(选做)．学生课后完成．巩固拓展．。