2022年全国初中数学竞赛试题word版含答案(4).doc

2022年全国初中数学竞赛试题word版含答案(4) - 2022年全国初中数学结合竞赛试题参考答案 说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.假如考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题：〔此题总分值42分，每题7分〕 1．x,y为整数，且满足(?1x111211)(2?2)-(4?4)，错误！未找到引用那么x?y的yxy3xy可能的值有〔 C 〕 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．非负实数x,y,z满足x?y?z?1，那么t?2xy?yz?2zx的最大值为 〔 A 〕 A．45912 B． C． D．791625 3．在△ABC中，AB?AC，D为BC的中点，BE?AC于E，交AD于P，BP?3，PE?1，误！未找到引用那么错〔 B 〕 A．＝ 6 B．2 C．3 D．6 24．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，那么这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 〔 B 〕 A．1223 B． C． D．2534 35．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t}?t?[t].实数x满足x?11?18{x}?{}? ，那么x3x 〔 D 〕 11 B．3?5 C．(3?5) D．1 226．在△ABC中，?C?90?，?A?60?错误！未找到引用。

AC?1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形, ?ADE?90? ,那么BE的长为 A．〔 A 〕 A．4?23 B．2?3 C．二、填空题：〔此题总分值28分，每题7分〕 1．实数a,b,c满足a?b?c?1，2．使得不等式1(3?1) D．3?1 2111-?1，那么abc?__0__． a?b?cb?c?ac?a?b9n8-错误！未找到引用对唯一的整数k成立的最大正整数n为 17n?k15144 ． 3．P为等腰△ABC内一点，AB?BC，?BPC?108?，D为AC的中点，BD与PC交于点E，假如点P为△ABE的内心，那么?PAC?48?． 4．正整数a,b,c满足:1?a?b?c，a?b?c?111，b2?ac，那么b? 36 ． 第二试 〔A〕 一、〔此题总分值20分〕设实数a,b满足a2(b2?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求值． 解 由条件可得a2b2?(a?b)2?40，ab?(a?b)?8. 设a?b?x，ab?y，那么有x2?y2?40，x?y?8， ……………………5分 联立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2). ……………………10分 假设(x,y)?(2,6)，即a?b?2，ab?6，那么a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的两根，但这个方程的判别式-(?2)2?24-20?0，没有实数根； ……………………15分 假设(x,y)?(6,2)，即a?b?6，ab?2，那么a,b是一元二次方程t2?6t?2?0的两根，这个方程的判别式-(?6)2?8?28?0，它有实数根.所以 11?的a2b211a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2?2?22-?8. ……………………20分 2222ababab2E为对角线BD上一点，二．〔此题总分值25分〕如图，在平行四边形ABCD中，且满足?ECD-ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明：?DFE-AFB． 证明 由ABCD是平行四边形及条件知?ECD-ACB-DAF. D……………………5分 又A、B、F、 D四点共圆，所以?BDC-ABD-AFD，所以△ECDAE∽△DAF， ……………………15分 CBFEDCDAB-. ……………………20分 DFAFAF又?EDF-BDF-BAF，所以△EDF∽△BAF，故 ?DFE-AFB. ……………………25分 所以333 三．〔此题总分值25分〕设n是整数，假如存在整数x,y,z满足n?x?y?z?3xyz，那么称n具有性质P.在1，5，2022，2022这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由. 333解 取x?1，y?z?0，可得1?1?0?0?3?1?0?0，所以1具有性质P. 333取x?y?2，z?1，可得5?2?2?1?3?2?2?1，所以5具有性质P.…………………5分 为了一般地判断哪些数具有性质P，记f(x,y,z)?x3?y3?z3?3xyz，那么 f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z) ＝(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx) 1(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 21?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 21222即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)?(y?z)?(z?x)] ① 2?……………………10分 不妨设x?y?z， 假如x?y?1,y?z?0,x?z?1，即x?z?1,y?z，那么有f(x,y,z)?3z?1； 假如x?y?0,y?z?1,x?z?1，即x?y?z?1，那么有f(x,y,z)?3z?2； 假如x?y?1,y?z?1,x?z?2，即x?z?2,y?z?1，那么有f(x,y,z)?9(z?1)； 由此可知，形如3k?1或3k?2或9k〔k为整数〕的数都具有性质P. 因此，1，5和2022都具有性质P. ……………………20分 假设2022具有性质P，那么存在整数x,y,z使得2022?(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx).注意到3|2022，从而可得3|(x?y?z)3，故3|(x?y?z)，于是有9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，即9|2022，但2022＝9×223＋6，矛盾，所以2022不具有性质P. ……………………25分 第二试 〔B〕 一．〔此题总分值20分〕同〔A〕卷第一题. 二．〔此题总分值25分〕如图，O为△ABC的外心，AB?AC，D为△OBC的外接圆上一点，过点A作直线OD的垂线，垂足为H.假设BD?7，DC?3，求AH. 解 延长BD交⊙O于点N，延长OD交⊙O于点E，由题意得A?NDE-ODB-OCB-OBC-CDE，所以DE为?BDC的平分线. ……………………5分 又点D在⊙O的半径OE上，点C、N在⊙O上，所以点C、N关于直线OE对称，DN?DC. ……………………10分 HNO延长AH交⊙O于点M，因为O为圆心，AM?OD，所以点A、DM关于直线OD对称，AH?MH.因此MN?AC?AB. E……………………15分 FBMC又?FNM-FAB，?FBA-FMN，所以△ABF≌△NMF，所以MF?BF，FN?AF. ……………………20分 因此，AM?AF?FM?FN?BF?BN?BD?DN?BD?DC ?7?3?10，即2AH?10，所以AH?5. ……………………25分 三．〔此题总分值25分〕 设n是整数，假如存在整数x,y,z满足n?x3?y3?z3?3xyz，那么称n具有性质P. 〔1〕试判断1，2，3是否具有性质P； 〔2〕在1，2，3，…，2022，2022这2022个连续整数中，不具有性质P的数有多少个？ 解 取x?1，y?z?0，可得1?13?03?03?3?1?0?0，所以1具有性质P； 取x?y?1，z?0，可得2?13?13?03?3?1?1?0，所以2具有性质P；…………………5分 假设3具有性质P，那么存在整数x,y,z使得3?(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，从而可得3|(x?y?z)3，故3|(x?y?z)，于是有9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P. ……………………10分 〔2〕记f(x,y,z)?x3?y3?z3?3xyz，那么 f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z) ＝(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx) 1(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 21?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 21222即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)?(y?z)?(z?x)] ① 2?……………………15分 不妨设x?y?z， 假如x?y?1,y?z?0,x?z?1，即x?z?1,y?z，那么有f(x,y,z)?3z?1； 假如x?y?0,y?z?1,x?z?1，即x?y?z?1，那么有f(x,y,z)?3z?2； 假如x?y?1,y?z?1,x?z?2，即x?z?2,y?z?1，那么有f(x,y,z)?9(z?1)； 由此可知，形如3k?1或3k?2或9k〔k为整数〕的数都具有性质P.……………………20分 又假设3|f(x,y,z)?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，那么3|(x?y?z)，从而3|(x?y?z)，进而可知9|f(x,y,z)?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx). 333 综合可知：当且仅当n?9k?3或n?9k?6〔k为整数〕时，整数n不具有性质P. 又2022＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2022，2022这2022个连续整数中，不具有性质P的数共有224×2＝448个. ……………………25分 第 页 共 页。