人教版初三数学旋转模型(含详细解析).doc

1 / 15 旋转模型旋转模型授课日期授课日期时时 间间主主 题题教学内容教学内容1.巩固并掌握旋转的性质；2.结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质；知知识识结结构构知知识识结结构构1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转2、►旋转具有以下特征：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变3、旋转的思想：旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按 要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法4、旋转不同类型、旋转不同类型（一）正三角形类型（一）正三角形类型在正中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与ABCPABCABPA60AB重合经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的、、三条线段集中于图（1-1-b）中的ACPAPBPC一个中，此时也为正三角形'PCP'PCP2 / 15 【【例题例题】】 如图：（1-1）：设是等边内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，的度数是PABCAPB ________.1509060.3,'''''''PBPAPPAPBRTPBPAPPCAPBAPBPAPAPCAPBAPABC△为为正三角形，△。

易证△△则△，连结且的外侧，作简解：在△‘（二）正方形类型（二）正方形类型在正方形中，P 为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使ABCDABCDABPB90得与重合经过旋转变化，将图（2-1-a）中的、、三条线段集中于图（2-1-b）BABCPAPBPC中的中，此时为等腰直角三角形'CPP'CPP【【例题例题】】 如图（2-1）：是正方形内一点，点到正方形的三个顶点、、的距离分PABCDPABC3 / 15 别为 PA=1，PB=2，PC=3求此正方形 ABCD面. 829 2132324422180909090,23,21,,,SSSSPFCRTEPARTEPFRTABCDRTEPFFPEPEFEPFDFDFEDEFFDEADCFDCEDAEDFPBCPBAPBCFDCPBAEDAPFPEAPEAPBPCDFCDFCABPADEEPAPAEBAPDAEAED△△△正方形△为可知△由勾股定理的逆定理，，，中，在△，在一条直线上、、点又同理，为等腰三角形，又易证△。

△且有△同样方法，作△△则△连结使作△简解：（三）等腰直角三角形类型（三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形中， ， 为内一点，将绕点按逆时针ABC90CPABCAPCC方向旋转，使得与重合经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个为等腰直角90ACBC'PCP三角形4 / 15 【【例题例题】】如图，在中，∠ ACB =900，BC=AC，P 为内一点，且 PA=3，PB=1，PC=2ABCABC求的度数BPC13590459022132,''''''''''PBPCPPBPCPBPRTPBPPPBPBPPBPCPPRTACPBCPPPCPCPACPBCPABCRT△，为知，△由勾股定理的逆定理可，，，中，在△为等腰直角三角形，△易证△则△，，连结且的外侧，作△简解：在’‘典型例题典型例题利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如一一.求线段长求线段长.例例 1. 如图，已知长方形 ABCD 的周长为 20，AB=4，点 E 在 BC 上，且 AE⊥EF，AE=EF，求 CF的长。

解析】：将 △ABE以点 E 为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点 B 旋转到点B' 处，AE 与 EF 重合，5 / 15 由旋转特征知：B'E⊥BC ，四边形B'ECF 为长方形，∴CE=BF'=AB∵CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=6∴CF=BC-CE=6-4=2二二. .求角的大小求角的大小例例 2. 如图，在等边中，点、分别为、上的两点，且，与交ABCEDABBCBECDADCE 于点，求的大小MAME【解析】：因为,,BCAC60ABCACD BECD所以以的中心（等边三角形三条中线的交点）为旋转ABCO中心，将顺时针旋转就得到了， ADC120CEB∴∠AME=180°-∠AMC=180°-120°=60°三三. .进行几何推理进行几何推理例例 3. 如图，点在正方形的边上，平分，请说明成立的理FABCDBCAEDAFDEAFBF 由 6 / 15 数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归 结为两种思想——对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：例例 4 4、、如图，正方形 ABCD 内一点 P，∠PAD＝∠PDA＝15°，连结 PB、PC，请问：ΔPBC 是等边三角 形吗？为什么？【【分析分析】】：本题关键是说明∠PCD＝∠PBA＝30°，利用条件可以设想将 ΔAPD 绕点 D 逆时针方向旋转 90°，而使 A 与 C 重合，此时问题得到解决.【【解析解析】】：：将 ΔAPD 绕点 D 逆时针旋转 90°，得 ΔDP’C，再作 ΔDP’C 关于 DC 的轴对称图形 ΔDQC，得 ΔCDQ 与 ΔADP 经过对折后能够重合。

∵PD=QD∴∠PDQ=90°-15°-15°=60°，∴△PDQ 为等边三角形，∴∠PQD=60°.∵∠DQC=∠APD=180°-15°-15°=150°，∴∠PQC=360°-60°-150°=150°=∠DQC,，∵PQ=QD=CQ ，∴∠PCQ＝∠DCQ＝15° ∴∠PCD=30°∴∠PCB=60°7 / 15 ∵PC=BC=CD ∴ΔPBC 为等边三角形例 5、已知：如图，E 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，AF 平分∠EAD 交 CD 于点 F，说明 AE＝BE＋DF 的理由分析分析】】：：由于要证的 3 条线段 AB、BE、DF 分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一 个三角形中 【【解析解析】】：：把△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°，则点 D 转到了点 B 的位置，点 F 转到了点 F'的位置， 根据旋转的性质得：∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD∵ABCD 为正方形∴∠D＝∠ABF'＝90°∴F'、B、E、C 在一条直线上又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90°∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90°∴∠F'AE＋∠2＝90°又∵∠AFD＋∠1＝90°∴∠AF'B＋∠1＝90°∵∠1＝∠2∴∠F'AE＝∠AF'B∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE例例 6、、如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90°，使 AB 与 CB 重合，BP 到达 BP'处，AP 到达 CP'处，若 AP 的延长线正好经过 P'，求∠APB 的度数。

分析分析】】：：此题运用旋转将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90°，根据旋转性质求出∠BP'C 的度数即可8 / 15 而∠BP'C 又是∠BP'P 与∠CP'P 之和，可各个击破，从而得解 【【解析解析】】：：由旋转的性质及特征可知：∠PBP'＝90°，AP⊥P'C，BP＝BP'∴在△BPP'中，∠∠BP PBPP'' 1 21809045又∵AP 的延长线正好经过 P'点∴∠AP'C＝90°∴∠BP'C＝∠AP'C＋∠BP'P＝135°从而可得∠APB＝135° 例例 7、、已知：如图，E、F、G 分别是正方形 ABCD 中 BC、AB、CD 上的点，且 AE⊥FG求证：AE＝FG【【分析分析】】：：AE、FG 所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后 再进行证明 【【证明证明】】：：延长 AB 至 F'使 BF'＝BE，连结 CF'∵正方形 ABCD∴AB＝CB，∠ABC＝90°又∵∠CBF'＝90°，BE＝BF'∴△ABE 绕点 B 顺时针旋转 90°可得△CBF'∴AE＝CF'，AE⊥CF'∵FG⊥AE∴FG∥CF'又∵正方形 ABCD，AB∥CD∴四边形 GFF'C 为平行四边形∴CF'＝FG∴AE＝FG 例 8、如图，P 是正方形 ABCD 中 AC 上一点，PE⊥AD 于 E，PF⊥CD 于 F。

求证：（1）OE⊥OF（2）OE＝OF9 / 15 【【分析分析】】：：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换 【【证明证明】】：：∵正方形 ABCD∴∠ADC＝90°，∠DAC＝45°∵DE⊥AD，∴∠PED＝90°∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°∴四边形 EPFD 为矩形∴PE＝DF又∵∠PED＝90°，∠DAC＝45°∴∠APE＝45°∴△AEP 中，AE＝PE∴AE＝DF∵正方形 ABCD 为中心对称图形∴△AOD 绕点 O 顺时针旋转 90°与△DOC 重合∴A 与 D 为对应点又∵AE＝DF∴E 与 F 为对应点 由旋转变换的特征知：OE⊥OF，OE＝OF例例 9. △ABC 为等边三角形，点 D、E、F 分别在边 AC、AB、BC 上，且 AE＝BF＝CD，连结 AF、BD、CE，分别交于点 G、H、M1）求∠1 的度数；（2）判断△GMH 的形状分析分析】】：：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是 60°，∠1 是△BCH 的外角，可知∠1＝∠2＋∠310 / 15 而∠2＝∠4∴∠1＝∠4＋∠3＝60°，从而得证。

【【解析解析】】：：（1）∵等边△ABC 是旋转对称图形，且 AE＝BF＝CD所以，△ABC 绕旋转中心旋转 120°后，△AEC、△BFA、△CDB 能够重合∴∠2＝∠4由∠1＝∠2＋∠3∴∠1＝∠4＋∠3＝60°（2）同理可得：∠GMH＝∠MGH＝60°∴△GMH 是等边三角形观察思考：旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位观察思考：旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位 置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系， 找出证题途径找出证题途径一、选择题一、选择题1．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）2．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ）Ａ．72 。