二次项定理10大典型例题.docx

1）知识点的梳理1．二项式定理：，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式②二项式系数:展开式中各项的系数.③项数：共项，是关于与的齐次多项式④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项3．注意关键点：①项数：展开式中总共有项②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改与是不同的③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列的指数从逐项减到，是升幂排列各项的次数和等于.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）4．常用的结论：令令5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，变形式③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：④奇数项的系数和与偶数项的系数和：⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来2）专题总结专题一题型一：二项式定理的逆用；例：解：与已知的有一些差距，练：解：设，则题型二：利用通项公式求的系数；例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数.解：由条件知，即，，解得，由，由题意，则含有的项是第项,系数为。

练：求展开式中的系数.解：，令,则故的系数为题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式的展开式中的常数项.解：，令，得，所以练：求二项式的展开式中的常数项.解：，令，得，所以练：若的二项展开式中第项为常数项，则解：，令，得.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式展开式中的有理项.解：，令,()得，所以当时，，，当时，，题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若展开式中偶数项系数和为，求.解：设展开式中各项系数依次设为,则有①，,则有②将①-②得：有题意得，，练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项解：，，解得所以中间两个项分别为，，题型六：最大系数，最大项；例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少.解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少.解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少.解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于练：写出在的展开式中，系数最大的项.系数最小的项.解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。

练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项.解：由解出,假设项最大，，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有练：在的展开式中系数最大的项是多少.解：假设项最大，，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为题型七：含有三项变两项；例：求当的展开式中的一次项的系数.解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有*的一次项，此时，所以得一次项为它的系数为解法②：故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.练：求式子的常数项.解：，设第项为常数项，则，得,, .题型八：两个二项式相乘；例：解：.练：解：.练：解：题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：解：题型十：赋值法；例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少.解：若，有，，令得，又,即解得，.练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少.解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.练：解：练：解：题型十一：整除性；例：证明：能被64整除证：由于各项均能被64整除1、(*－1)11展开式中*的偶次项系数之和是1、设f(*)=(*-1)11, 偶次项系数之和是2、2、2、4n3、的展开式中的有理项是展开式的第项3、3,9,15,21 4、(2*-1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2*-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2*+1)5展开式系数之和，故令*=1，则所求和为355、求(1+*+*2)(1-*)10展开式中*4的系数5、,要得到含*4的项，必须第一个因式中的1与(1-*)9展开式中的项作积，第一个因式中的－*3与(1-*)9展开式中的项作积，故*4的系数是6、求(1+*)+(1+*)2+…+(1+*)10展开式中*3的系数6、=，原式中*3实为这分子中的*4，则所求系数为7、若展开式中，*的系数为21，问m、n为何值时，*2的系数最小.7、由条件得m+n=21，*2的项为，则因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，*2的系数最小8、自然数n为偶数时，求证：8、原式=9、求被9除的余数9、,∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余810、在(*2+3*+2)5的展开式中，求*的系数10、在(*+1)5展开式中，常数项为1，含*的项为，在(2+*)5展开式中，常数项为25=32，含*的项为∴展开式中含*的项为，此展开式中*的系数为24011、求(2*+1)12展开式中系数最大的项11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有∴展开式中系数最大项为第5项，T5=. z.。