最值与范围问题-讲义及练习.docx

最值与范围问题-教师版一.综述圆锥曲线中的最值问题,主要考查直线与圆锥曲线相交时的弦长面积等量的最值.范围问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的几何性质，参数多与直线方程或圆锥曲线方程相关.二.例题精讲 破解规律例1. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A. 16 B. 14 C. 12 D. 10解析: 题目给出抛物线的两条相互垂直的焦点弦,可以利用两直线垂直斜率关系以及焦点弦长公式来解决.答案:A解析:设，直线的方程为，联立方程，得，∴ ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.方法二: 利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以点评: 本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出|AB|+|DE|,然后利用基本不等式求最值. 规律总结: 利用基本不等式求最值的思路: 建立目标的表达式，然后结合基本不等式．现学现用1: 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点1,32．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E,F两点（E,F与A点不重合），且满足AE⊥AF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值．解析：（Ⅰ）因为抛物线的焦点为，抛物线与椭圆C有相同的焦点所以，又椭圆过点，所以 解得.则椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设，直线AE的方程为，代入椭圆方程，可得由，可得，，由于AE⊥AF，只要将上式的换为，可得，，由P为EF的中点，得则直线AP的斜率为，当时，；当时，，再令，可得，当时，；当时，，当且仅当时，取得最大值；综上可得直线AP的斜率的最大值为．例2. 设A、B是椭圆C： 长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A. B. C. D. 答案:A解析: 设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.又tan∠AMB＝tan120°＝－，由＋＝1可得x2＝3－，则＝＝－.解得|y|＝.又0＜|y|≤，即0＜≤，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.点评:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．利用正切的和角公式进行转化.同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．规律总结: 建立目标函数(或者多个变量的方程)，然后根据目标函数(或方程)的特征选择相应的方法进行求解．现学现用2: 已知动点E到点A与点B的直线斜率之积为，点E的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）过点D作直线l与曲线C交于， 两点，求的最大值．解析：（1）设，则．因为E到点A，与点B的斜率之积为，所以，整理得C的方程为． （2）当l垂直于轴时，l的方程为，代入得， ．． 当l不垂直于轴时，依题意可设，代入得．因为，设， ．则， ． 综上 ，当l垂直于轴时等号成立，故的最大值是．例3: 设抛物线的准线与轴交于,抛物线的焦点为，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（Ⅱ）若，求的取值范围.分析：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为，根据椭圆上的点及离心率可得关于的方程组，求得可得椭圆的方程；根据椭圆的焦点坐标可得，进而可得抛物线方程．(Ⅱ)设出直线的方程，与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得，再根据的范围，利用函数的有关知识求得的范围即可．答案:(Ⅰ)椭圆的方程为；抛物线的方程是： .(Ⅱ) .解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由题意得，解得，∴椭圆的方程为，∴点的坐标为,∴,∴抛物线的方程是.（Ⅱ）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，由消去x整理得（*）∵直线与抛物线交于两点，∴．设， ，则①，②．∵， ,∴∴．③由①②③消去得： ．∴ ，即，将代入上式得，∵单调递减，∴，即，∴，∴，即的取值范围为．点评：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值规律总结: 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．现学现用3: 过点Mm,0m>0作直线l，与抛物线y2=4x有两交点A,B，若FA⋅FB<0，则m的取值范围是________．解析:设直线AB的方程为x=ay+m， 代入抛物线方程得y2-4ay-4m=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 又F（1，0），∴FA=（x1-1，y1），FB=（x2-1，y2）由根与系数的关系得：y1y2=-4m，y1+y2=4a， ∴x1x2=（ay1+m）（ay2+m）=a2y1y2+am（y1+y2）+m2=-4a2m+4a2m+m2=m2， x1+x2=a（y1+y2）+2m=4a2+2m， ∴FA⋅FB=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=m2-6m-4a2+1＜0，∴m2-6m+1＜4a2 恒成立，∴m2-6m+1＜0， 解得3-220，b>0)焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为__________．答案:233解析:由题意，设A(a,0),B(-a,0),P(c,y)，则kPA=yc-a,kPB=yc+a ，因为在l上存在一点P，使∠APB=60°，所以关于y的方程|yc-a-yc+a1+y2c2-a2|=3有实数根，即关于y的方程3y2-2ay+3(c2-a2)=0有实数根，则Δ=4a2-12(c2-a2)=4(4a2-3c2)≥0，解得4a2≥3c2，即e≤233，即双曲线离心率的最大值为233.3. 已知椭圆 的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.答案:(1) ；(2) .解析：(1)由已知得，解得，∴椭圆的方程为.(2)设， 的中点为，点，使得,则.由得，由，得.∴，∴.∵∴，即，∴.当时， （当且仅当，即时，取等号），∴；当时， （当且仅当，即时，取等号），∴，∴点的横坐标的取值范围为.四.课后作业 巩固内化1. 连结双曲线与的四个顶点的四边形面积为，连结四个焦点的四边形面积为，则的最大值是（ ）A. 2 B. 4 C. D. 答案:C解析:设双曲线的右顶点为，其坐标是，右焦点为，坐标为；设双曲线的上顶点为，坐标是，上焦点为，坐标为， 为坐标原点，则， ，，故选C.2. 已知双曲线（，），、是实轴顶点，是右焦点，是虚轴端点，若段上（不含端点）存在不同的两点（），使得△（）构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．答案:B分析：由题意，，，则直线的方程为，∵段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．3. 在△ABC中，已知B(-1,0)，C(1,0)，且sinB+sinC=2sinA．（1）求顶点A的轨迹M的方程．（2）直线l过点B(-1,0)，且与轨迹M交于P，Q两点，求△CPQ的内切圆面积的最大值．答案:（1）x24+y23=1（2）9π16解析：（1）sinB+sinC=2sinA，∴b+c=2a，∴|AC|+|AB|=4，∴x24+y23=1．（2）内切圆面积最大，即内切圆半径最大，S△CPQ=12r⋅PQ+12r⋅QC+12r⋅PC，=12r(PQ+QC+PC)，=12r⋅8=4r，即△CPQ面积最大时，r最大，设直线为l:x=ky-1，带入椭圆方程得:(4+3k2)y2-6ky-9=0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则S=12⋅2c⋅|y1-y2|=12k2+13k2+4，Smax=3，此时r=34，∴内切圆面积最大为9π16．4. 如图，已知抛物线，点， ，抛物线上的点 ，直线与轴相交于点，记， 的面积分别是， .（1）若，求点的纵坐标；（2）求的最小值.答案:（1）；（2）.解析：（1）因为，.由，得.即，得（2）设直线： ，则，由，知.联立，消去得，则， .所以 ， ，点到直线的距离 .所以 故当时， 有最小值.方法2：设（），则，所以直线： ，则.又直线： ， .则点到直线的距离为，点到直线的距离为所以 .故当时， 有最小值.5. 如图，已知椭圆E：x24+y23=1   的左、右顶点分别为A,B，M,N是椭圆E上异于A,B的两点，直线AM,BN交于点P(4,t)，且P位于第一象限．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记ΔPMN,ΔPAB的面积分别是S1(t),S2(t)，求S1(t)S2(t)的最小值．答案:（Ⅰ）t=3；（Ⅱ）t=±3时，(S1(t)S2(t))min=34.解析：(Ⅰ)设M(x0,y0),N(x0,-y0)，故直线AM的方程为y=y0x0+2(x+2)，直线BN的方程为y=y02-x0(x-2)联立y=y0x0+2(x+2)y=y02-x0(x-2)得：P(4x0,2y0x0) ∴4x0=4，解得：x0=1,y0=32 , 代入直线AM可得t=3 (Ⅱ)直线AM的方程为y=t6(x+2)，代入椭圆的方程并整理得：(t2+27)x2+4t2x+(4t2-108)=0 解得M(54-2t2t2+27,18tt2+27) 直线NB的方程为y=t2(x-2)，代入椭圆的方程并整理得：(t2+3)x2-4t2x+4t2-12=0 解得N(2t2-6t2+3,-6tt2+3)所以S1(t)S2(t)=|PM|⋅|PN||PA|⋅|PB|=|yM-yPyA-yP|⋅|yN-yP||yB-yP|=|18tt2+27-t-t|⋅|-6tt2+3-t-t|=t2+9t2+27⋅t2+9t2+3 =1-108(1t2+9)2+121t2+9+1当1t2+9=118，即t。