2010年高考数学北京卷文科试题及答案.doc

绝密★使用完毕前2010 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文） （北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页，共150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的 4 个选项中，选出符合题目要求的一项．1．集合 ， ，则|03PxZ≤ 2|9MxZ≤ PMA． B． C． D．2 01 12301232． 在 复 平 面 内 ， 复 数 ， 对 应 的 点 分 别 为 ， ． 若 为 线 段 的 中 点 ， 则 点 对 应 的 复 数 是65i2iABABCA． B． C． D．48i84i4i3．从 中随机选取一个数为 ，从 中随机选取一个数为 ，则 的概率是13 a123 baA． B． C． D．5355154．若 ， 是非零向量，且 ， ，则函数 是ababfxabxA． 一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数5．一个长方体去掉一个小长方体，所得集合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为A． B．C． D．正（主）视图侧（左）视图26．给定函数① ， ，③ ，④ ，其中在区间 上单调递减的函数12yx12logx1yx12xy01的序号是A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 ，顶角为 的四个等腰三1角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为A． 2sincos2B． 3C． sics1D． 2no8．如图，正方体 的棱长为 2，动点 ， 在棱 上，1ABCDEF1AB点 在棱 的中点，动点 在棱 上，若 ， ， （QPA1DPxy大于零），则三棱锥 的体积xy EFQA．与 都有关xyB．与 都无关C．与 有关，与 无关D．与 有关，与 无关xQPFE B1C1D1A1D CBA3第Ⅱ卷（选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．已知函数 右图表示的是给定 的值，求其对应的函数2logxy≥ x值 的程序框图．y①处应填写 ；②处应填写 ．10．在 中，若 ， ， ，则ABC△ 1b3c2C_a11．若点 到直线 的距离为 ，且点 在不等式3Pm40xy4P表示的平面区域内，则 _______．2xym12．从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知 ．若要从身高在 ，_a1203， 三组内的学生中，用分层抽样1304[105]的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为________．513．已知双曲线 的离心率为 ，焦点与椭圆 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标21xyab22159xy为 ；渐近线方程为 ．14．如图放置的边长为 1 的正方形 沿 x 轴滚动，设顶点 的纵坐标与横坐PABC(,)Pxy标的函数关系式是 ，则函数 的最小正周期为_____； 在其()yfx()f ()fx两个相邻零点间的图象与 轴所围区域的面积为_______．说明：“正方形 沿 轴滚动”包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动．沿 轴PABxx正方向滚动指的是先以顶点 为中心顺时针旋转，当顶点 落在 轴上时，再以顶点 为中心顺时BB针旋转，如此继续．类似地，正方形 沿 轴负方向滚动．PABC0.035a0.0200.0100.005150140130120110100①①/①①①①O①①①①x①①①y=2-x①①y①①①yxOBCAP4三、解答题．本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共 13 分）已知函数 2()cosinfxx（Ⅰ）求 的值；π3（Ⅱ）求 的最大值和最小值．()fx16． （本小题共 13 分）已知 为等差数列，且 ， ．{}na36a0（Ⅰ）求 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列 满足 ， ，求 的前 项和公式．{}nb182123ba{}nb17． （本小题共 14 分）如图，正方形 和四边形 所在的平面互相垂直，ABCDAEF， ， ．EF∥ 21（Ⅰ）求证： 平面 ；∥（Ⅱ）求证： 平面 ；FEDC BA518． （本小题共 13 分）设函数 ，且方程 的两个根分别为 ， ．320afxbxcda90fx14（Ⅰ）当 且曲线 过原点时，求 的解析式；yff（Ⅱ）若 在 内无极值点，求 的取值范围．fxa19． （本小题共 14 分）已知椭圆 的左、右焦点坐标分别是 ， ，离心率是 ，直线 与椭圆 交于C2063ytC不同的两点 ， ，以线段 为直径作圆 ，圆心为 ．MNP（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）若圆 与 轴相切，求圆心 的坐标；Px（Ⅲ）设 是圆 上的动点，当 变化时，求 的最大值．Qy ty20． （本小题共 13 分）已知集合 ， ．12n nSXxx 01|22iin ≥对于 ， ，定义 与 的差为12nAa 12nBbS AB；2nBba与 之间的距离为 ．1idA（Ⅰ）当 时，设 ， ，求 ， ；5n010dAB（Ⅱ）证明： ，有 ，且 ；nCSnBSdACB6（Ⅲ）证明： ， ， ， 三个数中至少有一个是偶数．nABCSdABCdB绝密★使用完毕前2010 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文） （北京卷）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1．B 2．C 3．D 4．A 5．C6．B 7．A 8．C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9． 10．x2logyx111． 12．3 0.313． 14．4030y4π1三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15． （共 13 分）解：（Ⅰ） ．2ππ312cosin34f（Ⅱ） 21cosxxx， ．2sR因为 ，co所以，当 时， 取最大值 ；当 时， 取最小值 ．xfx2cos0xfx116． （共 13 分）解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ．nad因为 ， ，360所以 125.d解得 ， ．1a所以 ．021nn（Ⅱ）设等比数列 的公比为 ．nbq因为 ， ，21234a18b所以 ，即 ．8q所以 的前 项和公式为 ．{}nb143nnnqS17． （共 13 分）证明：（Ⅰ）设 与 交于点 ．ACBDG因为 ，且 ．EF∥ 112AC所以四边形 为平行四边形．FEDC BA7所以 ．AFEG∥因为 平面 ， 平面 ，BDAFBDE所以 平面 ．∥（Ⅱ）连结因为 ， ，且 ，C∥ 1C所以四边形 为菱形．所以 ．FEG因为四边形 为正方形，所以 ．ABDBDA又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，A所以 平面 ．BDC所以 ．F又 ，EG所以 平面 ．18．由 得 ．32afxbxcd2fxabxc因为 的两个根分别为 ， ，99014所以 ⑴016836abc（Ⅰ）当 时，由⑴式得 26810.bc解得 ， ．1又因为曲线 过原点，所以 ．yfxd故 ．32fx（Ⅱ）由于 ，所以“ 在 内无极值点”等价于0a32afbxc“ 在 内恒成立” ．20fbxc≥ 由⑴式得 ， ．954又 ．419a解 得 ，00a≤ 即 的取值范围是 ．19． （共 14 分）解：（Ⅰ）因为 ，且 ，63ca2c所以 ， ．1ba所以椭圆 的方程为 ．C2xy（Ⅱ）由题意知 ．0Ptt由 得 ．213ytx231xt8所以圆 的半径为 ．P231t当圆 与 相切时， ．x解得 ．2t所以点 的坐标是 ．P302（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆 的方程为 ．因为点 在圆 上，2231xytptQxyP所以 ．231yttt≤设 ， ，则cos0π2sintt．i6当 ，即 ，且 时， 取最大值 ．π312t0xy220． （共 13 分）（Ⅰ）解： ．01010AB．113d（Ⅱ）证明：设 ， ， ．2na 12nBb 12nCccS因为 ， ，所以 ．iibiai从而 ．12nnABS又 ．1niiidCcb由题意知 ， ， ．iaib0i当 时， ；0iciiia当 时， ．1i 1ii iiicba所以 ．1nidACBdAB （Ⅲ）证明：设 ， ， ，2na 12nb 12nCccS， ， ．klCh记 ，由（Ⅱ）可知0nOS，dABAdoBk，COl．Dh所以 中 的个数为 ， 中 的个数为 ．12iban 1k12ican 1l设 是 是成立的 的个数，则 ．tiicihlkt由此可知， ， ， 三个数不可能都是奇数．kl即 ， ， 三个数中至少有一个是偶数．dABCdB。