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通过球壳的导热杨煜 1102610105市政环境工程学院 建筑环境与设备工程摘要：在傅里叶定律的基础上，我们已经得到了通过圆筒壁导热的温度分布，导热热阻及热 流量在此，我们将用相同的方法，得到通过球壳导热的温度分布，导热热阻及热流量，同 时根据临界绝缘直径的大小对保温材料的选择进行讨论关键词：导热热阻、温度场、傅里叶定律、临界绝缘直径1.引言在工程实践中，除了会遇到圆筒壁导热问题，还经常会遇到球壳类的导热问题在进行 了圆筒壁导热的推导后，可采用类似的数学方法对球壳的导热过程进行推导，即运用简单的 微积分方法求解温度分布函数进而求出各种求解球壳问题需要了解的参数量此过程的进 行不仅可以加深对稳态导热的理解，同时还能学会熟练地用数学方法，尤其是微积分处理导 热的问题以及如何运用公式分析求解球壳导热问题2.第一类边界条件如图表示一内半径为r ,外半径为r的球壳，无内热源，球壳的导热系数九为常数球 12壳内外表面分别维持均匀稳定的温度t和t ，而且t >t 要求确定通过该球壳的导热 w1 w 2 w1 w 2量及壳内的温度分布球壳内、外壁面温度均匀，温度场是均匀对称的，沿轴向的温度变化可以忽略不计，所 以采用球坐标系更为方便，而壳内温度仅沿坐标r方向变化，即一维稳态温度场。

于是，表 述上述问题的导热微分方程p c 空=——（九 r 2 匹）+ - —（九弘）+ 1 —（九 sin 0 也）+ qQt r2 dr Qt r2 sin 2 0 r2 sin 0 60 60可简化为下列形式d （小 dt ） r 2 = 0dr I dr 丿球壳内、外表面都给出第一类边界条件，即已知1）2）（3）式（1）（2）（3）给出了这一导热问题的完整描述求解这一组方程组，就可以得到球壳内 沿半径方向的温度分布t = f （r）具体函数形式式（1）可以通过直接积分方法求解积分一次，得到dtr = Cd r 1再积分一次，得到式（1）的通解为Ct = — 1 + Cr25）上式中 C ，1C 是待定的积分常数，可有边界条件确定将式（2）（3）代入式（2），2可以得到C t = — 1 + Cw1 r 216）联立求解式（6）7），得到将C , C的值代入式12C1 + Cr22t — t-*1 *211rr12*1t — tw1 wr1 — -Tr25）中，经过整理，可以得到球壳中的温度分布7）1 1r r t = t + (t — t*1 *1 *2或采用直径写作)111rr2111dd11110)t = t + （t — t ）*1 *1 * 2dd21已知温度分布后，可以根据傅里叶定律，求得通过球壳的导热热流量。

值得注意，与通过无限大平壁导热过程不同，对于球壳，仏并不等于常数，而是半径r的函数，参看式dr(4)所以，不同半径r处的热流密度并不是常数但在稳态情况下，通过半径为r的球壳的导热热流量是恒定的，根据傅里叶定律，它可以表示为从式(4)(8)可知dt①=一九 4冗drr 2 ( W )( 11)dt t —t 1=——( 12)dr 11 r 2rr12将上式代入(11)中，得t—t①=4兀九FT-wT11rr12或写作t --1①=2冗九fp-( 13 )11dd12将式(13)改写为欧姆定律的形式，可得t —t①= w-( 14)1 11(—)4冗九 rr12式中，1 J - 1)就是球壳的导热热阻，单位是°C/W 4兀九 r r123.第三类边界条件已知球壳r = r 一侧的流体温度为t ，对流换热表面传热系数为h ；对流换热r = r1 f 1 1 2侧流体的温度为t，表面传热系数为h则球壳两侧的第三类边界条件为16)17)f 2 2—九dt=h (t — t)dr1 fj 1r = r1r = r1—九dt=h (t| --1 )dr2 r = r2f2r = r218)应用傅里叶定律表达式，改写式(12)(16)(17)并按传热过程的顺序排列它们，则得① =h 4 兀 r2 (t 一 t )r=ri 1 1 fi wi在稳态传热过程中，①= wi w2 1 1 1(一) 4兀九 r r12—tf2)① =① =①，联立式(18) (19) (20),可得r = r1①= f—11r 11)1+ +4 冗 h r24冗九Irr4 冗 h r 211I12丿22r = r 2t — t19)20)21)则球壳传热过程中的热阻为11r 11)1R =十—+几 4兀h r24冗九Irr4 冗 h r 211I12丿2222)则多层球壳热阻为4兀h r2 4兀九I r1 1 i =1 i i1 ) 1+r 丿 4兀h r 2i+1 2 n +123)4.临界热绝缘直径由式( 23)可知热流体通过球壳和保温层传热给冷流体传热过程热阻为当加厚保温层时，1+4 冗 h r2114冗九| r11r2 丿1124)4冗九 | rin s 24 冗 h r 22xr增大，保温层热阻」-x 4兀九in sr1I r2rx 丿x随之增大，而保温层外侧的对流换热热阻 1 随之减小，有数学知识可知R先减小后增加，具有一个极小值。

对应于这x4 兀 h r 22x一变化，传热量①随着d增大，先增大后减小具有一个极大值对应于总热阻R为极小值 xx的保温层外径称为临界热绝缘直径d = 2r，即ccdR 1 1 1~ = —dr 4兀九 r 2兀h r 3x in s x 2 xd = 2rccin sh5.结论参考文献：1】章熙民，任泽霈，梅飞鸣. 传热学（第五版）.中国建筑工业出版社，2007 年2】张宗达.工科数学分析（第三版）下册.高等教育出版社，2008年。