新课预习-1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（教师版）-新高二暑假衔接.docx

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系【划重点】1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．3．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．【知识梳理】知识点一　空间中直线、平面的向量表示1．直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．2．平面的法向量如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}．知识点二　线线、线面、面面平行的向量表示1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.3．设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .知识点三　线线、线面、面面垂直的向量表示1．设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.3．设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.【例题详解】一、直线的方向向量例1　(1)若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由方向向量的概念求解，【详解】由，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意，故选：A(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量．【答案】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则，，所以即为直线PC的一个方向向量.跟踪训练1　(1)设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为 =（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则m等于（     ）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【分析】由l1⊥l2，可得其两直线的方向向量垂直，即，所以，从而可求出m的值【详解】因为l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为 =（﹣2，3，m），且l1⊥l2，所以，所以，解得，故选：B(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线 BC1 的一个方向向量为________．【答案】(不唯一)(0,0,1)　 (0,1,1)【详解】∵DD1∥AA1，＝(0,0,1)，直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；BC1∥AD1， ＝(0，1,1), 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．二、求平面的法向量例2　如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面的法向量；(2)求平面的法向量．【答案】(1)；(2)【分析】（1）可以观察出y轴垂直于平面，故就是平面的一个法向量；（2）利用求解平面的法向量的方法进行求解.【详解】(1)因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．(2)因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．因此，．设是平面的法向量，则，．所以所以取，则，．于是是平面的一个法向量．跟踪训练2　已知四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，试建立空间直角坐标系，求平面SAB，平面SDC的一个法向量．【答案】平面SAB的一个法向量为（1，0，0），平面SDC的一个法向量为（2，﹣1，1）．【分析】以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，能求出平面SAB的一个法向量和平面SDC的一个法向量．【详解】∵四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，∵SA＝AB＝BC＝1，AD，∴S（0，0，1），A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），平面SAB的法向量（1，0，0），（，0，﹣1），（1，1，﹣1），设平面SDC的一个法向量（x，y，z），则，取z＝1，得平面SDC的一个法向量（2，﹣1，1）．三、证明线线平行例3　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.【详解】证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.则，分别为MN，RS的方向向量，所以＝，＝，所以＝，所以∥，因为M∉RS，所以MN∥RS.方法二　设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c.所以＝，所以∥.又R∉MN，所以MN∥RS.跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．【详解】证明　以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，∴＝，＝，＝，＝，∴＝，＝，∴∥，∥，又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形．四、证明线面平行例4　如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．【答案】证明见解析【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量关系即可证明.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则可得，，，平面，平面.跟踪训练4 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．求证：平面；【分析】建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用向量法求解线面平行即可.【详解】证明：如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系则，，所以，设平面的法向量为，所以，所以，所以，因为平面，所以平面．五、证明面面平行例5 如图，长方体中，，，(1)求证：平面平面;(2)线段上，是否存在点，使得平面.【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行；（2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可.【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系：由题知,则，设平面的法向量为，则，解得，设平面的法向量为，则，解得，因为，所以平面平面.（2）设线段上存在点使得平面，由（1）得，，平面的法向量，所以，由解得，即为线段中点时，平面.跟踪训练5　如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.由于＝(0，1，－1)，则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，则，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.六、证明线线垂直问题例6　如图，在直四棱柱中，，，，．求证：；【答案】证明见解析【分析】根据直四棱柱的性质可得，，再由，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】证明：在直四棱柱中平面，平面．所以，．又，所以，，两两互相垂直，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，．所以，所以．跟踪训练6　如图，在直三棱柱-中，3，=4，5，(1)求证；(2)在上是否存在点，使得并说明理由【分析】（1）以C为坐标原点，、、分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥BC.（2）假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，设，则利用向量法能求出在AB线上是否存在点D，使得AC1⊥CD.【详解】（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，AC､BC､CC1两两垂直，以C为坐标原点，、、分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：则，，，，，，， ，.（2）假设在上存在点，使得，利用上式所建的空间直角坐标系，设，则，其中，于是，又，由得：，解得，此时，.在上存在点，使得，点与点重合.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.七、证明线面垂直问题例7　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC， E为PC的中点，EF⊥BP于点F. 求证：PB⊥平面EFD.【详解】证明　由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.所以＝(1,1，－1)，＝，＝，设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，＝.因为⊥，所以x＋－＝0，即x＋y －z＝0.①又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)，所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝，y＝，z＝，所以＝.方法一　因为·＝(1,1，－1) ·＝0＋－＝0，所以⊥ ，所以PB⊥DE，因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD.所以PB⊥平面EFD.方法二　设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，则有即所以取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．所以∥n2，所以PB⊥平面EFD.跟踪训练7　在正四棱柱中，，为的中点。