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第四章 Maple 简介•第一节 Maple 概述•第二节 Maple 的简单应用第一节 Maple 概述•一、主要功能•二、安装、启动与退出•三、界面简介•四、基本操作一、主要功能•Maple的主要功能包括计算功能（符号计算、数值处理、二维与三维作图）和编辑功能等两方面•Maple接受中文输入，这为我们编写中文课件或做中文注释提供了方便. 二、安装、启动与退出•1. 软件的安装•2. 软件的启动与退出三、界面简介四、基本操作•1. 基本运算符–加、减、乘、除和乘方的符号+、-、*、/ 和^ –在运算过程中加注释, 用符号“#”起始就行了 •2. 变量与函数–Maple本身定义的函数的第一个字母小写,函数的变量用圆括号() •3. 工具栏(Palettes)的使用•4. 帮助系统的使用第二节 Maple 的简单应用•一、算术运算•二、函数运算•三、初等代数运算•四、微积分运算•五、线性代数运算•六、作图一、算术运算•1. 数值表示和计算•2. 整数运算•3. 内部常数•4. 小数划为分数运算•5. 复数运算1. 数值表示和计算•evalf(expr) expr的计算结果含有机器的默认位的数字•evalf(expr，n) expr的计算结果含n位数字•Digits 查看数值的默认位数•Digits:=n 将数值的默认位数设定为n2. 整数运算•ifactor(n) 将整数n分解为素数的乘积•igcd(m,n,k,…) 求m,n,k, 的最大公约数•ilcm(m,n,k,…) 求m,n,k, 的最小公倍数•ithprime(n) 给出第n个素数•isprime(n) 判定n是(True)否(False)为素数factorial(n)或n! 计算n阶阶乘•rand(m..n) 随机产生在m与n间的整数•irem(m,n) 计算m/n的余数•iquo(m,n) 计算m/n的商3. 内部常数•Pi表示圆周率π•I表示纯虚数•自然对数的底用exp(1)表示•角的单位度数是deg•无穷大为infinity. 4. 小数划为分数运算•convert(x,rational) 将实数(有理数)x转换为精确分数•convert(x,rational,n) 将实数(无理数)x转换为分子与分母非零数码的个数和为n的分数5. 复数运算•z = a + b*I 复数z的代数表示，a, b为实数•Re(z)求复数z的实部•Im(z)求复数z的虚部•abs(z)求复数z的模长或绝对值•argument(z)求复数z的幅角（在-π和π之间）•Conjugate(z)求复数z的共轭复数•evalc(expr)完成表达式expr的复数运算二、函数运算•1. 变量•2. Maple的自定义函数•3. 定义函数1. 变量•变量的赋值方式是：变量 := 值•变量的第一个字母不能是数字•指令assigned(x) 用于查看变量x是否被赋值，若被赋值，返回true, 否则false•百分号%的用法：–% 指上一步的运算结果–%%%（n个%）指前倒数第n步的运算结果2. Maple的自定义函数•sqrt(x) 平方根函数•exp(x), ln(x) 指数函数和自然对数函数•log[b](x) 以b为底的对数函数•Abs(x) 绝对值函数•round(x) 最接近x的整数rand ()12位的随机数•Max(a，b，c，)，min(a，b，c，) a, b, c,  中的最大(小)数•floor(x) 不大于x的最大整数•ceil(x) 不小于x的最小整数•trunc(x) x靠近0的整数部分•frac(x) x的分数部分(=x-trunc(x))signum(x)符号函数3. 定义函数•定义函数的基本方式是: “函数名函数名 := 变量变量 - > 变量的表达式变量的表达式” •另一种方式:–定义表达式p := x2 + sin x–然后使用指令：函数名函数名 := unapply(p,x) •定义分段函数的指令: piecewise•清除变量赋值和自定义函数的指令: 变量名变量名:=’变量名变量名’ 或 函数名函数名:= ’函数名函数名’.•清除所有自定义变量和函数的指令: restart 三、初等代数运算•1. 不同形式代数表达式之间的转换•2. 有理化分母和部分分式•3. 解方程•4. 解不等式1. 不同形式代数表达式之间的转换•expand(expr) 乘出expr所有乘积和幂(简称展开）•factor(expr) 将expr分解成因子的乘积•normal(expr) 消去分子和分母的公因子•simplify(expr) 做一系列变换使得expr具有最简形式•collect(expr, x) 给出expr按照x方幂展开的形式2. 有理化分母和部分分式•rationalize(expr) 有理化根式分式的分母•convert(f, parfrac, x) 将f按x化为部分分式•convert(f, parfrac, x, K) 将f在K上按x化为部分分式3. 解方程•solve(eqn, x) 对方程eqn求解x•subs(x=soln,eqn)验证解soln满足方程eqn•solve({eqn1,eqn2,…}, {x,y,…}) 对未知数x, y,… 求解方程组eqn1, eqn2, …•fsolve(eqn, x, a .. b) 对方程eqn在a与b之间求解x4. 解不等式•Maple用指令solve解不等式，不等号为: •<=（小于等于）•>=（大于等于）•<（小于）•>（大宇）•<>（不等于） 四、微积分运算•1. 极限运算•2. 求导运算•3. 积分运算•4. 级数•5. 微分方程1. 极限运算•Limit(f(x), x = a ) 求表达式f(x)当x趋于a时的极限•Limit(f(x), x=a, dir ) 求表达式f(x)当x沿方向dir趋于a时的极限•Limit(f(x,y,…),{x=a,y=b}) 求表达式f(x, y,…)当x,y,…分别趋于a、b,…时的极限2. 求导运算•(1) 普通求导•(2) 复合函数和隐函数的求导(1) 普通求导•diff(f(x), x) 求f(x)对x的导数•diff(f(x,y, …), x, y, …) 求f(x,y, …)对x, y, …的导数•diff(f(x), x$n) 求f(x)对x的n阶导数•diff(f(x,y, …), x$m, y$n,…) 求f(x,y, …)对x的 m阶, 对y 的n阶, …的导数•D(f) 求一元函数f的一阶导函数•D[1, 2, …](f) 求多元函数f对第一个变量一次,第二个变量一次,…的导函数•(D@@n)(f) 求一元函数f的n阶导函数•D[1$m, 2$n, …](f) 求多元函数f对第一个变量m次,第二个变量n次,…的导函数(2) 复合函数和隐函数的求导•f@g 函数f与g的复合函数•implicitdiff(f, y, x) 求由方程f定义的隐函数y对x的导数•implicitdiff(f, y, x1,...,xk) 求由方程f定义的隐函数y对x1,...,xk的导数•implicitdiff({f1,...,fm},{y1,...,yn},u, x1,...,xk ) 求由方程f1,...,fm定义的隐函数y1,...,yn 中的某个u对x1,...,xk的导数•implicitdiff({f1,...,fm},{y1,...,yn},{u1,...,ur}, x1,...,xk) 求由方程f1,...,fm 定义的隐函数y1,...,yn 中的某r个 u1,...,ur对x1,...,xk的导数3. 积分运算•int(expr, x) 求expr对于x的不定积分•int(expr, x=a..b, ...) 求expr对于x由a到b的定积分, …为选项•changevar(s, f, u) 对积分f作变量替换s, u为新的积分变量•intparts(f, u) 对积分f作分部积分, u为在udv中选择的u4. 级数•Sum(f, k= m..n)求和式•Product(f, k= m..n)连乘式•series(expr, x=a, n) 求出表达式expr在a点次数至n的幂级数展开式•convert(series,polynom) 去除幂级数的余项而留下多项式5. 微分方程•dsolve(ode) 求解常微分方程•odedsolve({ode,ics}, y(x), option)求解常微分方程ode满足初值条件ics的解（option为选项）•odeadvisor(ode)给出常微分方程ode类型和求解方法的建议五、线性代数运算•加载程序包LinearAlgebra •1. 向量和矩阵的输入和运算•2. 向量的其他运算•3. 矩阵的其他运算•4. 求解线性方程组•5. 矩阵的特征值和特征向量1. 向量和矩阵的输入和运算•v := 定义k维列向量•vv := 定义k维行向量v•M:=<|…|> 定义kΧn维矩阵M•M:=Matrix([[a11,…,ak1],…,[a1n, …, akn]]) 定义kΧn维矩阵M•Add(U, V, a, b) 计算向量或矩阵U和V的线性组合aU+bV•Multiply(U,V) 计算向量或矩阵U和V的乘积UV2. 向量的其他运算•CrossProduct(U, V)计算两个三维向量的叉积•DotProduct(U, V)计算两个相同维数向量的点积•VectorAngle(U, V)计算两个相同维数向量间的夹角•VectorNorm(U, 2)计算向量U的欧氏长度3. 矩阵的其他运算•Determinant(A)计算方阵A的行列式•Transpose(A)计算矩阵、向量或数值A的转置•Rank(A)计算矩阵A的秩•MatrixInverse(A)计算方阵A的逆矩阵4. 求解线性方程组 •RowSpace(A)给出矩阵A的行空间的一个基•ColumnSpace(A)给出矩阵A的列空间的一个基•NullSpace(A)计算以A为系数矩阵的齐次方程解(零子空间)的基础解系•LinearSolve(A, B)求解线性方程组Ax=B5. 矩阵的特征值和特征根•Eigenvalues(A) 计算方阵A的特征值•Eigenvectors(A) 计算方阵A的特征向量六、作图•1. 二维作图•2. 三维作图•3. 动画1. 二维作图•(1) 基本指令形式•(2) 作图选项(1) 基本指令形式•plot(f, h, v,...)作函数f的图象，h为自变量范围，v为函数值范围，… 为选项•plot([x(t),y(t),t=a..b],h,v,…) 作参数曲线x=x(t), y=y(t)图象，h为水平范围，v为垂直范围，… 为选项•plot([r(t),theta(t),t=a..b] ),h,v,coords=polar) 在极坐标中作参数曲线r=r(t), θ=θ(t)图象，h为水平范围，v为垂直范围，… 为选项(2) 作图选项选项选项设置格式设置格式取值范围取值范围说明说明adaptiveadaptive= true还有false自适应，取消axesaxes=normalframe, boxed, normal, none坐标轴设置，四种axesfontaxesfont=[family,style,size]参看plot,options设置刻度线标号字形colorcolor=n参看plot,color设置图象颜色coordscoords=namepolar (极坐标)参看plot[coords]选择作图所用坐标系(2) 作图选项（续1）选项选项设置格式设置格式取值范围取值范围说明说明discontdiscont=false还有true是否在间断点用垂直线连接filledfilled=false还有true是否在图象和x轴之间填充fontfont=[family,style,size ]参看plot,options设置图象中文字部分的字形labelslabels=[x,y]标记坐标轴labeldirectionslabeldirections=[x,y]horizontal, vertical设置坐标轴的方向(2) 作图选项（续2）选项选项设置格式设置格式取值范围取值范围说明说明Labelfontlabelfont=[family,style,size ]设置坐标轴标记的字形legendlegend=ss是元素与曲线条数相同的表加入图例linestylelinestyle=11-4对应实线,点线,虚线和点划线设置图象线的类型numpointsnumpoints =50 正整数设置作图区间的分点数(2) 作图选项（续3）选项选项设置格式设置格式取值范围取值范围说明说明resolutionresolution=200 正整数设置图象的水平分辨率samplesample =[x1,..,xk]自变量的取值选定作图是必须取的点scaling scaling=unconstrainedconstrained x轴与y轴单位的比style,style=linepoint, 参看plot,options设置图象点之间的连接方式symbolsymbol=pointbox, cross, circle设置图象中点的类型(2) 作图选项（续3）选项选项设置格式设置格式取值范围取值范围说明说明symbolsize symbolsize=10正整数,单位：吋/72设置图象中点的大小thicknessthickness=01, 2, 3设置图象中线的厚度tickmarkstickmarks =[m,n]正整数或default设置图象中坐标轴标号个数titletitle =”…\n…”\n用作题目中的换行作图象标题(2) 作图选项（续4）选项选项设置格式设置格式取值范围取值范围说明说明titlefonttitlefont[family,style,size ]参看plot,options设置图象标题文字字形viewview =[x1..x2, y1 ..y2]设置图象坐标选取范围xtickmarksxtickmarks =n正整数设置横坐标轴标号个数2. 三维作图•(1) 三维作图的基本指令•(2) 作等高线图和密度图的指令 (1) 三维作图的基本指令•plot3d(f(x,y), x=a..b, y=c..d) 作函数z=f(x,y)在[a, b]×[c,d]上的图象•plot3d([f(s,t), g(s,t), h(s,t)], s=a..b, t=c..d) 作参数曲面x=f(s,t), y=g(s,t), z=h(s,t)•plot3d(f(x,y), x=a..b, y=c..d, coords=spherical) 在球坐标中作图象r=f(θ,φ)（θ∈[0, 2π],φ∈[0,π]）•plot3d(f(x,y), x=a..b, y=c..d, coords=cylindrical) 在柱坐标中作图象z=f(r,θ)•plot3d([f(s,t), g(s,t), h(s,t)], s=a..b, t=c..d, coords= spherical)) 作球坐标，参数曲面r=f(s,t),θ=g(s,t),φ=h(s,t)•spacecurve(L,…)作空间曲线L（可以是多条）(2) 作等高线图和密度图的指令•加载程序包plots•contourplot(f(x,y),x=a..b,y=c..d)作函数f(x,y)的在[a, b] × [c,d]上的等高线图•contourplot([f(s,t), g(s,t), h(s,t) ],s=a..b,t=c..d)作参数曲面x=f(s,t), y=g(s,t), z=h(s,t) 的等高线图•contourplot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d)在三维空间作函数f(x,y)的在[a, b]×[c,d]上的等高线图•contourplot3d([f(s,t), g(s,t), h(s,t)],s=a..b,t=c..d)在三维空间作参数曲面x=f(s,t), y=g(s,t), z=h(s,t) 的等高线图•densityplot(f(x,y),x=a..b,y=c..d)作函数f(x,y)的在[a, b] × [c,d]上的密度图3. 动画•加载程序包plots •animate(F(x,t), x=a..b, t=c..d,...)对t有c至d制作动画{F(x,t), x=a..b}•display(animate)显示各幅二维动画•animate3d(F(x,y, t),x=a..b,y=c..d,t=p..q )对t由p至q制作动画{F(x,y,t), t=p..q}•display3d(animate3d)显示各幅三维动画。