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472 § 6 Mathematica 求定积分以及相关应用问题6.1 用 Mathematica 求定积分1 定积分的运算在 不 定 积 分 中 加 入 积 分 的 上 下 限 便 成 为 定 积 分 (definite integral) Mathematica 的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变量的上下限1) Integrate[f,{x, 下限 ,上限 }] (2) dxxfba )(例 6.1 计算定积分 dxxx 151 解 dxxxIn 1:]1[ 51Out[1]=4-2ArcTan[2] 和不定积分一样 ,除了我们指定的积分变量之外 ,其它所有符号都被作常数处理 . 例 6.2 计算定积分 dxex ax3220 解 dxaxExpxIn ]3[:]2[ 2202726272]2[ 6 aa eeOut2 数值积分如果 Mathematica无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长而失去意义时， 我们就可以用数值积分求解 数值积分只能进行定积分的运算， 即必须指定上、下限用 Mathematica求解数值积分有两种形式：(1) NIntegrate[f,{x,a,b}] x从 a 到 b ，做 )( xf 的数值积分。

2) N[ dxxfba )( ] 求定积分表达式的数值例 6.3 求定积分 dxx)sin(sin30 解 用 Integrate命令无法求 )sin(sin x 的定积分，用 NIntegrate 命令即可求得其数值积分In[1]:=NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,Pi/3}] Out[1]=0.466185 求定积分表达式的数值，也能得到与上式相同的结果]dx]]Sin[Sin[N[:]2[In 3/0 xPi473 Out[2]=0.466185 例 6.4 求定积分 dxe x210 的近似值解 被积函数的原函数不能被等函数表示，我们可以计算它的数值积分In[3]:=NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}] Out[3]=0.746824 3 近似值积分用 Mathematica 计算定积分的近似值还有矩形法、梯形法和抛物线法用分点 bxxxa n10 将区间 ],[ ba 分成 n个长度相等的小区间，每个小区间长度为nabxi niabi ax)(nabxxii 1 )(xfyi矩形法公式：)()()()(21110nbanbayyyn abdxxfyyyn abdxxf梯形法公式：])(21[)( 1210 nnba yyyyyn abdxxf抛物线法公式：)](4)(2)[(3)( 1312420 nnnba yyyyyyyynabdxxf例 6.5 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分 dxx210 。

解 为了便于比较，首先计算积分的精确值：In[1]:=Clear[x]; y[x_]=x^2; Integrate[y[x],{x,0,1}] Out[1]= 31(1) 矩形法In[2]:=Clear[y,x,s1,n,b,a]; n=20;a=0;b=1; y[x_]:=x^2; s1=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,0,n-1}]//N; s2=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,1,n}]//N; Print[“ s1=” ,s1” s2=” ,s2] Out[2]=s1=0.30875 s2=0.35875 (2) 梯形法In[3]:=Clear[y,x,a,b,ss3,s3]; 474 y[x_]:=x^2; n=20;a=0;b=1; ss3=Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}]; s3=(y[a]/2+y[b]/2+ss3)*(b-a)/n //N; Print[“ s3=” ,s3] Out[3]=0.33375(3) 抛物线法In[4]:=Clear[y,,x,a,b,s3]; y[x_]:=x^2; n=20;a=0;b=1;m=10; ss1=Sum[(1+(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss1=2y 2+2y4+… +2yn-2*) ss2=Sum[(1-(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss2=2y 1+2y3+… +2yn-1*) s4=N[(y[a]+y[b]+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20]; Print[s4=” ,s4] Out[4]=0.33333333333333333333由上述结果可知：抛物线法近似程度最好，矩形法近似程度最差。

6.2 用 Mathematica 计算相关定积分应用问题在解有关定积分应用问题时会用到的 Mathematica 函数有以下几种：1、 Solve[{ 方程 1，方程 2} ， { 变量 1，变量 2}] ：求解二元方程组2、 Plot[f[x],{x,a,b}] ：画一元函数图形3、 ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,t 1,t2}] ：二维参数作图4、 Integrate[f[x],{x,a,b}] ：计算定积分5、 Show[f 1,f2]：将函数组合显示1 利用定积分计算平面图形的面积有连续曲线 )(xfy 0)(xf ，直线 )(, babxax 及 x轴所围成的曲边梯形的面积为dxxfA ba )(例 6.6 求由抛物线 xy 22 和直线 4xy 所围成图形的面积解 首先画出函数图形，如图 6-1 所示In[1]:=Plot[{Sqrt[2x],-Sqrt[2x],-x+4},{x,0,9}] Out[1]=-Graphics- 475 2 4 6 8-4-224图 6-1 然后求出两条曲线的交点：In[2]:=Solve[{y^2-2==0,y+x-4==0},{x,y}] Out[2]={{x 2,y 2},{x 8,y -4}} 再以 y 为积分变量求面积：In[3]:=s=Integrate[-y+4-y^2/2,{y,-4,2}] Out[3]=18 例 6.7 求由圆 cos3r 所围图形的面积。

解 首先求出两条曲线的交点：In[4]:=Solve[{r-3Cos[t]==0,r-1-Cos[t]==0},{r,t}] Out[4]= }}3,23{},3,23{{ trtr然后画出两曲线所围成的图形，如图 6-2 所示In[5]:=f1=ParametricPlot[{3Cos[t]Cos[t],3Cos[t]Sin[t]},{t,0,2Pi}]; f2= ParametricPlot[{(1+Cos[t])Cos[t],(1+Cos[t])Sin[t]},{t,0,2Pi}] Show[f1,f2,AspectRatio Automatic] Out[5]= -Graphics- 0.5 1 1.5 2 2.5-1.5-1-0.50.511.5图 6-2 再利用定积分计算面积In[6]:=s1=Integrate[1+Cos[t],{t,0,Pi/3}] 476 Out[6]= 323In[7]:=s2=Integrate[3Cos[t],{t,Pi/3,Pi/2}] Out[7]= )231(3In[8]:=s=2*(s1+s2) Out[8]= 323132322 利用定积分计算平面曲线的弧长设曲线弧由参数方程：)()(txxtyy , )( t给出，其中 )(),( tytx 在 ],[ 上具有连续导数，则曲线弧的弧长为dttytxs 2)(')(2'例 6.8 求曲线 txtyarctan)1ln(212上相应于从 0t 到 1t 的一段弧长。

解 首先画出曲线的图形，如图 6-3 所示In[1]:=ParametricPlot[{ArcTan[t],(1/2)*Log[1+t^2]},{t,-2,2},AspectRatio Automatic] Out[1]= -Graphics- -1 -0.5 0.5 10.20.40.60.8图 6-3 再利用定积分计算曲线的弧长：In[2]:=dx=D[ArcTan[t],t] 211]2[tOutIn[3]:=dy=D[(1/2)Log[1+t^2],t] 477 21]3[ ttOutIn[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,1}]//N Out[4]=0.881374 3 利用定积分计算旋转体的体积由连续曲线 )(xfy ,直线 )(, babxax 及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周所成立体的体积为dxxfv ba 2)]([例 6.9 将星形线 323232ayx 所围成的图形绕 x轴旋转一周， 计算所得旋转体的体积解 星形线的参数方程为taxtaSiny33cos )20( t取 a=1，画出星形线的图形，如图 6-4 所示In[1]:=ParametricPlot[{(Cos[t]^3),(Sin[t]^3)},{t,0,2Pi},AspectRatio Automatic] Out[1]= -Graphics- -1 -0.5 0.5-1-0.50.51图 6-4 利用 Mathematica计算旋转体的体积：In[2]:=x[t_]:=a*Cos[t]^3; y[t_]:=a*Sin[t]^3; dx=D[x[t],t]; V=2*Integrate[Pi*(y[t])^2*dx,{t,0,Pi/2}] 10532]2[ 3aOut478 练习 5.6 1. 用 Mathematica求解下列定积分：(1) dxe xx21 1 )5cos(3 ; (2) dxx xsin ; (3) dxxsin35 120 ; (4) dxxaxa 2220 ; (5) dxxba )log(2. 计算下列积分的数值积分(1) dxx 1)(sin310 ; (2) dxx xsin03. 设0,110,11)(xxxexfx，求 dxxf )1(204. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分 dxx3 251 2 . 5. 求由两条曲线 2xy 与 2yx 围成的平面区域的面积 . 6. 求半径为 r 的圆的周长 . 7. 求星形线 0,cossin33 ataxtay , )20( t 的全长 . 8. 求圆 )0()( 222 baaybx 绕 x轴旋转一周的旋转体 （环体） 的体积 . 。