十大定理证明.docx

谈到复杂数学定理的证明时，很多人常常为之色变，认为这只是一个枯燥的公式堆砌和深 奥的数学推导过程这当然是一个让笔者感到纠结的误解因为数学证明中包含的美丽与精 巧实在是一道亮丽的风景线，而这种亮丽甚至不需要用语言来描述所以我在这里盘点了数 学里十大不需要语言的证明(poofs without words)让读者在领略数学所包含的无与伦比 的精巧之外，更从此爱上数学0. 勾股定理 这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事我可以很随意的写出她的 10 个不同 的证明方法而路明思(Elisha Scott Loomis)在 《毕达哥拉斯命题》(Pythagorean Propositi on)提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶这里给出一个不 需要语言的证明方法■ biiriGi2a-bcos6i b期B1. 关于反正切的恒等式 关于反正切，有如下两个很精彩的等式：arcta n1 /2+arcta n1 /3= n/4ac rt anl+arc tan2+arc tan3=n 它们的证明方法也同样精彩2. 几何平均值小于算术平均值 这是不等式中最重要和基础的等式：3. 1+3+5+・"+ (2n-1) = n 2这是奇数的求和公式，下图是当n=8时的情形4. 平方数的求和公式1?十2心十3+…十nF—口 (II十丄(11+1)3 25・口 m塔S沿酋&旦6. 斐波那契数列的恒等式 可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21 …… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和， F n+1 = F n + F n-1 。

它的通项公式是mn- mi有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的而且当n无穷大时 F / F 越来越逼近黄金分割数 0.618 正因为它的种种神奇性质，美国数学会 n-1 n甚至从 1960 年代起出版了《斐波纳契数列》季刊关于斐波那契数列，有一个恒等式是这 样的用+曲+…+码=吋叽+1耐Fo = 1.这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数学推导，它有一个很直观的证明方法车±最>•亠4--.x.jli■ ;:-…-■ 7rl-^-'rr ■二二ch- :■■: I」| -Li I ■ :L •二!■.--4:『--4:『.：7-4.=:申-4・：「-4£・';-4.吨.：!7:.._.爲.--4; ■II■: ni ■-rl-■ J « I - ・!・FB,I=:iy — ” ；■: :!,-;"1一 二-二-I." 1 :!■-" JM二二二二Luln:! •V.HB»rnLL ・.TIIIAr-L-rl“：+l.lll:l: + ::+»s-l:"s+"il,s_4i4j:4工 4---1--4-工…H414.- - - - - ■- - 3 - ~ 9 ■■- B - - -:---1—…二：‘…叫：「——T:■1!^ •- - IV; JJals■- -»™ - J ™ 11 ■•!■ I - ■ - ■ - M ■1 - - - •- :l・・qIlE:ufli・FW^II = -lll :JI : — ・■»・,土士-…-亠…于-S7H-4--王：+:4 4:ST 41….!•・ ^..44:4 44'^ —…J!J 4}-■■.■■-■■E」“IJ-.!!-Els-l*lgl,l“…卜 iiBS:」i<..;」—.：r■;:IL!二二一二二二二二二二一i「--,;-r'i-J;-Ji--i.J!--1:J,1,--i—Yi「--i;「--iJ 「T--J ■2,:・：『：>-『；--::>4:.4:=-山---『■-■.・lrl;.--s-;-!':--!I:l「-4:.,:J」：l・5v:-::JT: ■=■-■• ■■■■;■•:-'□;'■【：-r.--L-?-」lT"■>□-■■ ・-丄■二 F£・4・r w- -E -i^m- I・！j. ■■■ ”『！・■・！ ・・■••-・・・1『・ — ■斗・一・,EI-7. 结果为 1/3的一组分子式 下面是一组分子式，他们的结果都等于 1/38. 最受数学家喜爱的无字证明1989年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的 数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向 不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后， 你所使用的每种菱形数量一定相同。

《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有 了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子三种菱形分别是从左侧、右 侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝这个问题及其 鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱死理性派曾经讨论过 这个问题 同 时它还是死理性派 logo 的出处9. 棋盘上的数学证明在一个8x8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形 牌）覆盖整个棋盘上的 64个方格如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的 62个格子 还能用 31 张骨牌覆盖住吗？答案是不能的每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑所以 31 张骨牌 应该可以盖住 31个黑格和 31个白格而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色， 另一种颜色是 30个，因此是不能被 31张骨牌覆盖的但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不 同的方格，那么剩下来的 62格是否一定能被 31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定 能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。

建议读者在继续往下阅读前，可 以先自行思考如何证明这个结论上图就是那个漂亮的证明不妨对它再赘述两句粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、 黑白格相间的封闭路线从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成 两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）在这两段（或一段）线路中，两 种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖从而证明整个棋盘可以被 31 张骨牌完全覆盖这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁 加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》 这本书里数学里，有一种证明方法叫做Proofs without words诚然，这种证明方法算不上严格，但 是它却将数学中包含的最精巧的东西一览无余地展现了出来本文列举了十个经典的例子 你还见过什么高明的吗，可以在回帖中写出来如果有很漂亮的，我会在这里推荐出来 资料来源：mathoverflow来自: 死理性派 - 果壳网。