3.4.1 基本不等式的证明(1).doc

课 题：3.4.1　基本不等式的证明（1）教学目标：探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； 重点难点：理解基本不等式 等号成立条件及 “当且仅当时取等号”的数学内涵课 型新授课课堂教学模式学生活动教学过程：1、 创设情景1.提问：与哪个大？ 2.基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．2、 学生讨论问题1　我们把“风车”造型抽象成上图．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：.问题2　那4个直角三角形的面积和呢？生答　．问题3　好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有.3、 建构数学1．重要不等式：一般地，对于任意实数 ，，我们有，当且仅当时，等号成立．问题4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明：所以 注意强调：当且仅当时, 注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；（2） 公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛． 　　问题5：将降次为,降次为,则由这个不等式可以得出什么结论？2．基本不等式：对任意正数，，有当且仅当时等号成立．（学生讨论回答证明方法）证法1：当且仅当即时，取“”．证法2：要证，只要证，只要证，只要证．因为最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当即时，取“=”号．证法3：对于正数有， 说明： 把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：（1）基本不等式成立的条件是：；（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）；（图1）（3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦”；（4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即；另一方面是仅当时取等号，即；（5） 如果，那么 （当且仅当时取“”）；（6）如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数，的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．四、课堂小结3。