曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,一、曲线的凹凸性与拐点,第四模块 微积分学的应用,第六节　曲线的凹凸性与拐点　 　　　 函数图形的描绘,二、函数图形的描绘,,如图所示，凡呈凸形的弧段，,当自变量,x,由,x,1,增大到,x,2,时，,其上的切线斜率是递减的,(,如图,(,a,),左，,(,b,),左,),，,凡呈凹形的弧段，,当,x,由,x,1,增大到,x,2,时，,其上的切线斜率是递增的,(,如图,(,a,),右，,(b),右,),，,我们将以这个明显的几何特征来规定曲线的凹凸性,.,x,1,x,3,x,4,x,2,O,y,A,B,C,D,x,一、曲线的凹凸性与拐点,x,y,O,A,B,D,C,x,1,x,3,x,4,x,2,(,a,),(,b,),,定义,,1,,设函数,,y,=,f,(,x,),在某区间,,I,,内可,导，,①,如果,,f,,(,x,),在,,I,内是递增的,，,则称曲线,,y,=,f,(,x,),在区间,,I,内是凹的,，,I,区间称为凹区间,；,②,如果,,f,,(,x,),在,,I,内是递减的,，,,则称曲线,y,=,f,(,x,),在区间,,I,,内是凸的,，,I,区间称为,凸,区间,,.,定义,,2,,设函数,,y,=,f,(,x,),在区间,,I,,内连续,，,则,,y,=,f,(,x,),在区间,,I,,内的凹,凸分界点,，,,叫做曲线,,y,=,f,(,x,),的拐点,.,,,定理,,1,,设函数,,y,=,f,(,x,),在区间,,I,,内的二阶导数,,f,,(,x,) > 0,，,则曲线,,y,=,f,(,x,),在区间,,I,,内是凹,的,；,若,,f,,(,x,) < 0,，,则在此区间,,I,内曲线,,y,=,f,(,x,),是凸的,.,,定理,,2,(,拐点的必要条件,),且点,,(,x,0,,,,f,(,x,0,)),为曲线,,y,=,f,(,x,),的拐点,，,则,,f,,(,x,0,) = 0.,若函数,,y,=,f,(,x,),在,,x,0,处二阶导数,,f,,(,x,0,),存在,，,,注意,,f,,(,x,0,,) = 0,是点,(,x,0,，,,f,(,x,0,,) ),为拐点必要条件，,而非充分条件,.,例如,y,=,x,4,,，则,y,,= 12,x,2,，,当,x,= 0,时，,,,y,(0),= 0,，,但,,(0, 0),不是曲线,y,=,x,4,,的拐点，,因为点,,(0, 0),两侧二阶导数不变号,.,,定理,,3,,若,,f,,(,x,0,) = 0,，,且在,,x,0,两侧,,f,,(,x,),变号,，,则点,,(,x,0,,,,f,(,x,0,,) ),是曲线,,y,=,f,(,x,),的拐点,.,,,例,,1,讨论曲线,f,(,x,) =,x,3,-,6,x,2,,+,9,x,+,1,的,凹,凸,区间与拐点．,解,定义域为,(,,,,,),.,因为,f,,(,x,) = 3,x,2,-,12,x,+,9，,f,(,x,) = 6,x,,-,12,,= 6(,x,,-,2,,)，,令,,f,(,x,) = 0,，可,得,x,= 2.,当,,x, ( , 2),时，,f,(,x,) < 0，,此区间是,凸,区间．,当,,x, (2, + ),时，,f,(,x,) > 0，,此区间是凹,区间．,,当,,x,= 2,时，,f,(,x,) = 0,，,因,f,(,x,),在,x,= 2,的两侧变号，而,f,,(2) = 3,，,所以,,(,2, 3,),是该曲线的拐点,.,本题也可以下表给出解答：,x,(,, 2,),2,(,2,,+,,),f,(,x,),,0,+,f,(,x,),拐点,(,2, 3,),其中 ， 分别表示曲线凸和凹,.,,例,,2,讨论曲线,,y,= ln(1,+,,x,2,),的,凹凸区间与拐点,.,解,定义域为,(, ,  ,),.,因为,令,y,,,= 0,得,x,=,-,1,，,x,= 1.,,当,x,,(,,,-,1),时，,,y,,,,< 0，,此区间是凸区间；,当,x,,(,1,,1),时，,,y,,,,> 0，,此区间是凹区间；,当,x,,(,1,,+,,),时，,,y,,,,< 0，,此区间是凸区间,.,因为,f,,(,-,1) =,f,,(1) = 0,，,f,,,(,x,),在点,x,=,-,1.,x,= 1,的,两侧变号，,且,f,(,-,1 ) =,f,( 1 ) = ln2,，,所以点,(-,1, ln2,),,和,(,1, ln2,),为拐点,.,,二、函数图形的描绘,1,.,曲线的水平渐近线和垂直渐近线,,定义,,3,,若曲线,,y,=,f,(,x,),上的动,点,,M,(,x,,,y,),,沿着曲线无限远离坐标原点时,，,,它与某直线,l,,的距离趋向于零,，,,则称,,l,为该曲线的渐近线,.,l,M,(,x,,,y,),y,=,f,(,x,),y,x,O,,(,1,),,垂直渐近线,则称直线,x,=,x,0,,为曲线,y,=,f,(,x,),的,垂直渐近线,.,例如，,因为,所以直线,x,= 0,+,,即,y,轴为,y,=,ln,,x,曲线的垂直渐近线,.,y,x,O,y,=,ln,,x,对于曲线,y,=,ln,,x,,来说，,,1,y,x,O,,例如，对于曲线 来说，,(,2,),,水平渐近线,则称直线,y,=,b,,为曲线,y,=,f,(,x,),的,水平渐近线,.,y,x,O,所以直线,y,= 0,,是曲线,的水平渐近,线,.,y,= 0,,所以直线,都是该曲线的水平渐近线,.,y,x,O,因为,又如，曲线,y,=,arctan,,x,，,y,=,arctan,,x,,2,.,函数图形的描绘,描绘函数的图形，,其一般步骤是：,(,1,),确定函数的定义域，,并讨论其对称性和周期性；,(,2,),讨论函数的单调性，,极值点和极,值；,(,3,),讨论函数图形的凹凸区间和拐点；,(,4,),讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线；,,(,5,),根据需要补充函数图形上若干点,(,如与坐标轴的交点等等,),；,(,6,),描图,.,,解,该,函数的定义域为,,(-,,,,,,),，且,为奇函数，,求其一、二阶导数，得,y,,,= 3,,-,3,x,2,,和,y,,,=,-,6,x,，,例,,4,描绘函数,y,=,f,(,x,) = 3,x,–,,x,3,,的图形,.,得驻点,,x,=,,1,，,令,y,,= 0,，,因为,y,|,x,=,-,,1,,= 6 > 0,，,y,|,x,=,1,=,-,6 < 0，,所以,y,(,-,1) =,-,2,为极小值,，,y,(1) = 2,为极大值,；,令,y,,,= 0,，,得,x,= 0,，,因为,x,< 0,时，,y,,,> 0,，,x,> 0,时，,y,,,< 0,，,所以,x,< 0,时,曲线,y,=,f,(,x,),是凹的，,当,x,> 0,时，曲线,y,=,f,(,x,),是凸的，,且,(,0, 0,),为拐点,.,,将上述讨论列为下表：,x,y,,(,x,),y,,(,x,),(,, 1,),,+,0,+,+,+,1,(,1, 0,),0,+,0,(0, 1,),+,,1,0,,(,1,,+,,),,,y,极小值,f,(,-,1)=,-,2,拐点,(0,0),极大值,f,(1)=2,,曲线,y,= 3,x,–,,x,3,,无,水平渐近线和垂直渐近线,.,综合上述结论，,即可描出所给函数的图形,.,y,x,O,1,-,1,y,= 3,x,–,x,3,令,y,,= 0,，,可知曲线,y,= 3,x,–,x,3,,与,x,轴交在,,例,,6,描绘函数,,的图形,.,解,该,函数的定义域为,,(-,,,,,,,,),.,该,函数为偶函数，,因此,,,只要作出它在,(0,,  ,),内的图形，,即可根据其对称性得到它的全部图形．,求其一、二阶导数，得,令,y,,= 0,.,令,y,,= 0,，,得驻点,x,= 0,，,当,x, ,时,y, 0,，,所以,y,= 0,为该函数图形的水平渐近线,.,,讨论,y,,，,y,,的正负情况，,确定函数 的增减区间和极值，,凹凸区间和拐点，,将上述结果归结下表：,x,y,,y,,0,y,极大值,f,(0)=,1,0,,+,,,,0,,凸而减,凹而减,,根据以上讨论，即可描绘所给函数的图形,.,y,O,x,,。