高中数学数列基础知识点和综合练习含答案新人教A版必修5.doc

一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳：1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列称等差数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：公式：②等比数列：1°.定义若数列（常数），则称等比数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：当q=1时2．简单性质：①首尾项性质：设数列1°.若是等差数列，则2°.若是等比数列，则②中项及性质：1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且③设p、q、r、s为正整数，且1°. 若是等差数列，则2°. 若是等比数列，则④顺次n项和性质：1°.若是公差为d的等差数列，组成公差为n2d的等差数列；2°. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）⑤若是等比数列，则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.⑥若是公差为d的等差数列,1°.若n为奇数，则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n为偶数，则（二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“”④四数成等比数列，可设四数为“”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.[例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知成等差数列，求证：（1）成等差数列；（2）成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，（Ⅱ）设数列（1）求证：是等差数列；（2）若数列求证：{}是等比数列.①②[解析]（1）②－①得1）当2）由1）、2）知，[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n项和为求[解析]选择公式做比较好，但也可以考虑用性质完成.①②[解法一]设①－②得：[解法二]不妨设（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为，求项数n.[解析]设公比为（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：求数列[解析]①，②①②[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为,解得所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列复习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在2.、在等差数列中，,且,,成等比数列，则的通项公式为 （ ）（A） （B） （C）或 （D）或3、已知成等比数列，且分别为与、与的等差中项，则的值为 （ ）（A） （B） （C） （D） 不确定4、互不相等的三个正数成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，，三个数（ ）（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列的前项和为,,则此数列的通项公式为 （ ）（A） （B） （C） （D）6、已知，则 （ ）（A）成等差数列 （B）成等比数列 （C）成等差数列 （D）成等比数列7、数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有 （ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C）2 （D）18、数列1,前n项和为 （ ）（A） （B） （C） （D）9、若两个等差数列、的前项和分别为 、，且满足，则的值为 （ ）（A） （B） （C） （D）10、已知数列的前项和为,则数列的前10项和为 （ ）（A）56 （B）58 （C）62 （D）6011、已知数列的通项公式为, 从中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为 （ ）（A） （B） （C） （D）12、下列命题中是真命题的是 ( )A．数列是等差数列的充要条件是()B．已知一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C．数列是等比数列的充要条件D．如果一个数列的前项和,则此数列是等比数列的充要条件是二、填空题13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比= 14、已知等差数列，公差,成等比数列，则= 15、已知数列满足,则= 16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题17、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列， ，求公比及。

18、已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于 , ，,,求19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数20、已知为等比数列，，求的通项式21、数列的前项和记为（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求22、已知数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）若数列满足，证明：是等差数列；答案:第九单元 数列综合题一、 选择题题号123456789101112答案BDCAAACADDDD二、 填空题13. 14. 15. 16. 6三、解答题 17.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d 由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1 ∴bn=3·4n-1-218.∴ a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 , a1(1-3d2)=-2d ① a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d ② ,得=2，∴ d2=1或d2=,由题意，d=,a1=-。

∴an=a1+(n-1)d=(n-6) bn=a1dn-1=-·()n-119.设这四个数为则 由①，得a3=216,a=6 ③③代入②，得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3，6，12，1820.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 当q1=, a1=18.所以 an=18×()n－1= = 2×33－n. 当q=3时, a1= , 所以an=×3n－1=2×3n－3.21.解：(I)由可得，两式相减得又 ∴ 故是首项为，公比为得等比数列 ∴（Ⅱ）设的公差为由得，可得，可得故可设又由题意可得解得∵等差数列的各项为正，∴∴∴22（I）： 是以为首项，2为公比的等比数列 即　 （II）证法一： 　　　　　　　　　　　　　① 　　　　　　② ②－①，得 即 ③ ④　 ④－③，得　 即　 是等差数列。